（Ⅰ）证明：∵AB=a，AD=b，BE=x，S
梯形ABEF=S
梯形CDFE，
∴
a（x+AF）=
a（EC+b-AF），
∴2AF=EC+（b-x）．
又∵EC=b-x，
∴2AF=2EC．
∴AF=EC．
（Ⅱ）解：（1）当直线EE′经过原矩形的顶点D时，如图（一）
∵EC∥E′B′，
∴
=
，
由EC=b-x，E′B′=EB=x，DB′=DC+CB′=2a，
得
，
∴x：b=
．
当直线E′E经过原矩形的顶点A时，如图（二）
在梯形AE′B′D中，
∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
∴CE=
（AD+E′B′），
即b-x=
（b+x），
∴x：b=
．
（2）如图（一），当直线EE′经过原矩形的顶点D时，BE′∥EF，
证明：连接BF，
∵FD∥BE，FD=BE，
∴四边形FBED是平行四边形，
∴FB∥DE，FB=DE，
又∵EC∥E′B′，点C是DB′的中点，
∴DE=EE′，
∴FB∥EE′，FB=EE′，
∴四边形BE′EF是平行四边形，
∴BE′∥EF．
如图（二），当直线EE′经过原矩形的顶点A时，显然BE′与EF不平行，
设直线EF与BE′交于点G，过点E′作E′M⊥BC于M，则E′M=a，
∵x：b=
，
∴EM=
BC=
b，
若BE′与EF垂直，则有∠GBE+∠BEG=90°，
又∵∠BEG=∠FEC=∠MEE′，∠MEE′+∠ME′E=90°，
∴∠GBE=∠ME′E，
在Rt△BME′中，tan∠E′BM=tan∠GBE=
=
，
在Rt△EME′中，tan∠ME′E=
=
，
∴
=
．
又∵a＞0，b＞0，
=
，
∴当
=
时，BE′与EF垂直．
分析：（Ⅰ）由AB=a，AD=b，BE=x，S
梯形ABEF=S
梯形CDFE，结合梯形的面积公式可证得AF=EC；
（Ⅱ）（1）根据题意，画出图形，结合梯形的性质求得x：b的值；
（2）直线EE′经过原矩形的顶点D时，可证明四边形BE′EF是平行四边形，则BE′∥EF；当直线EE′经过原矩形的顶点A时，BE′与EF不平行．
点评：本题是道根据平移的性质、梯形的性质和平行四边形的性质结合求解的综合题，解题复杂，难度大．考查学生综合运用数学知识的能力．
