【题目】例:利用函数图象求方程x2﹣2x﹣2=0的实数根(结果保留小数点后一位).
解:画出函数y=x2﹣2x﹣2的图象,它与x轴的公共点的横坐标大约是﹣0.7,2.7.所以方程x2﹣2x﹣2=0的实数根为x1≈﹣0.7,x2≈2.7.我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根.……这种求根的近似值的方法也适用于更高次的一元方程.
根据你对上面教材内容的阅读与理解,解决下列问题:
(1)利用函数图象确定不等式x2﹣4x+3<0的解集是 ;利用函数图象确定方程x2﹣4x+3=的解是 .
(2)为讨论关于x的方程|x2﹣4x+3|=m解的情况,我们可利用函数y=|x2﹣4x+3|的图象进行研究.
①请在网格内画出函数y=|x2﹣4x+3|的图象;
②若关于x的方程|x2﹣4x+3|=m有四个不相等的实数解,则m的取值范围为 ;
③若关于x的方程|x2﹣4x+3|=m有四个不相等的实数解x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),满足x4﹣x3=x3﹣x2=x2﹣x1,求m的值.
【答案】(1) 1<x<3,x=4;(2) ①见解析,②0<m<1,③m=0.8
【解析】
画出图象,根据题意通过观察可求解.
解:(1)x2﹣4x+3=0与x轴的交点为(1,0),(3,0),③m=0.8
∴x2﹣4x+3<0的解集是1<x<3,
画出函数y=x2﹣4x+3和函数y=的图象,可知x2﹣4x+3=的解为x=4,
故答案为1<x<3,x=4;
(2)①如图:
②如图:通过观察图象可知:
|x2﹣4x+3|=m有四个不相等的实数解,0<m<1;
故答案为0<m<1;
③由x4﹣x3=x3﹣x2=x2﹣x1,可得x2、x3是x1x4的三等分点,
由图可知,m=0.8时,满足x4﹣x3=x3﹣x2=x2﹣x1.
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【题目】已知抛物线上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表
x | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | -4 | 0 | 2 | 2 | 0 | -4 | … |
下列结论:①抛物线开口向下;②当时,y随x的增大而减小;③抛物线的对称轴是直线;④函数的最大值为2.其中所有正确的结论为( )
A.①②③B.①③C.①③④D.①②③④
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【题目】已知AB为⊙O的直径.
(1)如图a,点D为 的中点,当弦BD=AC时,求∠A.
(2)如图b,点D为的中点,当AB=6,点E为BD的中点时,求OE的长.
(3)如图c,点D为上任意一点(不与A、C重合),若点C为的中点,探求BD、AD、CD之间的数量关系,直接写出你探求的结论,不要求证明.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,过⊙T外一点P引它的两条切线,切点分别为M,N,若,则称P为⊙T的环绕点.
(1)当⊙O半径为1时,
①在中,⊙O的环绕点是___________;
②直线y=2x+b与x轴交于点A,y轴交于点B,若线段AB上存在⊙O的环绕点,求b的取值范围;
(2)⊙T的半径为1,圆心为(0,t),以为圆心,为半径的所有圆构成图形H,若在图形H上存在⊙T的环绕点,直接写出t的取值范围.
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【题目】如图,公园中一正方形水池中有一喷泉,喷出的水流呈抛物线状,测得喷出口高出水面0.8m,水流在离喷出口的水平距离1.25m处达到最高,密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆,考虑到出水口过高影响美观,水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外,现决定通过降低出水口的高度,使落水形成的圆半径为2.75m,则应把出水口的高度调节为高出水面( )
A.0.55米B.米C.米D.0.4米
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【题目】如图,已知正方形ABCD的边长为6,E为BC的中点,将△ABE沿直线AE折叠后,点B落在点F处,AF交对角线BD于点G,则FG的长是___________.
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【题目】如图,在⊙O中,半径OC=6,D是半径OC上一点,且 OD=4.A,B是⊙O上的两个动点,∠ADB=90°,F是AB的中点,则OF的长的最大值等于______.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,点O是边AC的中点.
(1)在图1中,将△ABC绕点O逆时针旋转n°得到△A1B1C1,使边A1B1经过点C.求n的值.
(2)将图1向右平移到图2位置,在图2中,连结AA1、AC1、CC1.求证:四边形AA1CC1是矩形;
(3)在图3中,将△ABC绕点O顺时针旋转m°得到△A2B2C2,使边A2B2经过点A,连结AC2、A2C、CC2.
①请你直接写出m的值和四边形AA2CC2的形状;
②若AB=,请直接写出AA2的长.
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【题目】某校学生准备购买标价为50元的《现代汉语词典》,现有甲、乙两书店出售此书,甲店按如下方法促销:若只购1本,则按原价销售;若一次性购买多于1本,但不多于30本时,每多购一本,售价在标价的基础上优惠2%(例如买2本,每本售价优惠2%;买三本,每本售价优惠4%,以此类推);若多于30本,每本售价20元.乙书店一律按标价的6折销售.
(1)分别写出在两书店购买此书总价y甲、y乙与购书本数x之间的函数关系式;
(2)若这些学生一次性购买多于30本时,那么去哪家书店购买更划算,为什么?若要一次性购买不多于30本时,先写出y(y=y甲﹣y乙)与购买本数x之间的函数式,画出其图象,再利用函数图象分析去哪家书店购买更划算.
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