Question

16．已知抛物线y=ax²+bx+3，与x轴交于A（-3，0）、B（1，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，使△BCD为以BC为直角边的直角三角形，请求出点D的坐标；
（3）将△OBC以每秒1个单位的速度沿射线OA方向平行移动，当点B运动到点A时停止运动．把运动过程中的△OBC记为△O'B'C'，设运动时间为t（0＜t＜4），△O'B'C'与△OAC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式，并写出对应t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把A（-3，0）、B（1，0）代入抛物线解析式，解方程组即可．
（2）设D点的坐标为（m，-m²-2m+3），分两种情形若∠DCB=90°，如图1，作DE⊥OC于点E，由△CDE∽△BCO，得$\frac{CE}{OB}$=$\frac{DE}{OC}$，列出方程求解；若∠DBC=90°，如图2，作DF⊥AB于点F，由△DBF∽△BCO，得$\frac{DF}{OB}$=$\frac{BF}{OC}$，列出方程即可解决．
（3）分三种情形讨论即可①当0＜t＜1时，如图3中，重叠部分是五边形ONMKO′，②当1≤t＜3时，如图4中重叠部分是，四边形MNOO′，③当3≤t＜4时，如图5中重叠部分是△AB′M．作MN⊥AB于M．分别求解即可．

解答 解：（1）依题意，得$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+3=0}\\{a+b+3=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²-2x+3；

（2）设D点的坐标为（m，-m²-2m+3），
依题意，OB=1，OC=3．
若∠DCB=90°，如图1，

作DE⊥OC于点E，则DE=-m，CE=m²+2m，
∵∠DCE+∠OCB=90°，∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠DCE=∠OBC，
∵∠DCB=∠COB=90°，
∴△CDE∽△BCO，
∴$\frac{CE}{OB}$=$\frac{DE}{OC}$，
∴$\frac{{m}^{2}+2m}{1}$=$\frac{-m}{3}$，
∴解得m=-$\frac{7}{3}$或0（舍弃），
∴D点的坐标为（-$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）．
若∠DBC=90°，如图2，作DF⊥AB于点F，

则BF=1-m，DF=m²+2m-3，
同理可证△DBF∽△BCO，
∴$\frac{DF}{OB}$=$\frac{BF}{OC}$，
∴$\frac{{m}^{2}+2m-3}{1}$=$\frac{1-m}{3}$，
∴m=-$\frac{10}{3}$或1（舍弃），
∴D点的坐标为（-$\frac{10}{3}$，-$\frac{13}{9}$），
∴D点的坐标为（-$\frac{7}{3}$，$\frac{20}{9}$）或（-$\frac{10}{3}$，-$\frac{13}{9}$）．
（3）①当0＜t＜1时，如图3中，重叠部分是五边形ONMKO′，

S=S_{△O′B′C′}-S_△KMC′-S_△ONB′=$\frac{1}{2}$×3×1-$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×t²-$\frac{1}{2}$×（1-t）×3（1-t）=-$\frac{13}{8}$t²+3t，
②当1≤t＜3时，如图4中重叠部分是，四边形MNOO′，

S=S_{△O′B′C′}-S_△C′MN=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×t²=-$\frac{1}{8}$t²+$\frac{3}{2}$．
③当3≤t＜4时，如图5中重叠部分是△AB′M．作MN⊥AB于M．

∵△AMB′∽△ACB，
∴$\frac{AB′}{AB}$=$\frac{MN}{CO}$，
∴$\frac{4-t}{4}$=$\frac{MN}{3}$，
∴MN=$\frac{3}{4}$（4-t），
∴S=$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{3}{4}$（4-t）=$\frac{3}{8}$t²-3t+6．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{13}{8}{t}^{2}+3t}&{（0＜t＜1）}\\{-\frac{1}{8}{t}^{2}+\frac{3}{2}}&{（1≤t＜3）}\\{\frac{3}{8}{t}^{2}-3t+6}&{（3≤t＜4）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查二次函数综合题．待定系数法、相似三角形的判定和性质、平移变换等知识，解题的关键是学会分类讨论，需要画出图象解决问题，求重叠部分面积时，关键是自变量的取值范围的确定，属于中考压轴题．