Question

设有关于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0．
（Ⅰ）若a是从0，1，2三个数中任取一个数，b是从0，1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（Ⅱ）若在如图所示的矩形内任取一点P，设P的横坐标为a，纵坐标为b，求上述方程有实根的概率．

Answer 1

分析：（1）先根据一元二次方程根的判别式的意义得到△=4a²-4b²=4（a²-b²），当a≥b时，方程有解，再画树状图展示6种等可能的结果，其中只有a=0，b=1使△＜0，即使△≥0有5种情况，最后根据概率的概念求解即可；
（2）如图，OD平分∠AOC，当点P落在四边形OABD内时，a≥b，则原方程有实数根，分别计算出矩形OABC和四边形OABD的面积，然后利用
它们的面积比表示点落再在四边形OABD内的概率，即方程有实根的概率．

解答：解：（1）△=4a²-4b²=4（a²-b²），
画树状图，
共有6种等可能的结果，其中只有a=0，b=1使△＜0，即使△≥0有5种情况，
所以方程有实根的概率=

5

6

；
（2）如图，OD平分∠AOC，
当点P落在四边形OABD内时，a≥b，则原方程有实数根，
而S_△OCD=

1

2

×1×1=

1

2

，S_矩形OABC=2，
所以方程有实根的概率=

2- 1 2

2

=

3

4

．

点评：本题考查了列表法或树状图法求概率的方法：先通过列表或画树状图展示所有等可能的结果数，再找出某事件所占有的可能数，然后根据概率的概念求出这个事件的概率．也考查了一元二次方程根的判别式的意义以及利用面积法求概率．