【题目】如图,△ABC和△ECD都是等边三角形,B、C、D三点在一条直线上,AD与BE相交于点O,AD与CE相交于点F,AC与BE相交于点G.
(1)△BCE与△ACD全等吗?请说明理由.
(2)求∠BOD度数.
【答案】(1)△BCE≌△ACD.证明见解析;(2)120°.
【解析】
(1)通过观察图形,根据等边三角形的性质就可以证明△BCE≌△ACD;
(2)由(1)△BCE≌△ACD可以得出∠ADC=∠BEC,而有∠AOB=∠EBC+∠ADB,就有∠AOB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°,从而可以求出∠BOD的值.
(1)△BCE≌△ACD.
理由:∵△ABC和△ECD都是等边三角形,
∴BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=∠BAC=60°,
∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,
∵∠BCE=∠ACD.
在△BCE和△ACD中,
,
∴△BCE≌△ACD(SAS);
(2)∵△BCE≌△ACD,
∴∠ADC=∠BEC.
∵∠AOB=∠EBC+∠ADC,
∴∠AOB=∠EBC+∠BEC=∠DCE=60°.
∵∠AOB+∠BOD=180°,
∴∠BOD=120°.
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【题目】已知点O是等腰直角三角形ABC斜边上的中点,AB=BC,E是AC上一点,连结EB.
(1) 如图1,若点E在线段AC上,过点A作AM⊥BE,垂足为M,交BO于点F.求证:OE=OF;
(2)如图2,若点E在AC的延长线上,AM⊥BE于点M,交OB的延长线于点F,其它条件不变,则结论“OE=OF”还成立吗?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于点E,连CD分别交AE,AB于点F,G,过点A作AH⊥CD交BD于点H.则下列结论:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正确结论的个数为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
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【题目】如图1,等腰Rt△ABC中,∠A=90°,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.
(1)观察猜想:图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ;
(2)探究证明:把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3)拓展延伸:把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=8,AB=20,请直接写出△PMN面积的最大值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线与x轴交于点A,与y轴交于点C.抛物线经过A,C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).
(1)求抛物线的解析式及点B坐标;
(2)若点M是线段BC上的一动点,过点M的直线EF平行y轴交x轴于点F,交抛物线于点E.求ME长的最大值;
(3)试探究当ME取最大值时,在抛物线上、x轴下方是否存在点P,使以M,F,B,P为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,试说明理由.
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【题目】如图,点E在线段BC上,AB⊥BC,DC⊥BC,∠AED=90°,且AE=DE.
(1)求证:△ABE≌△ECD.
(2)直接写出线段AB、BC、CD之间的数量关系.
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【题目】如图,某日的钱塘江观潮信息如表:
按上述信息,小红将“交叉潮”形成后潮头与乙地之间的距离(千米)与时间(分钟)的函数关系用图3表示,其中:“11:40时甲地‘交叉潮’的潮头离乙地12千米”记为点,点坐标为,曲线可用二次函数(,是常数)刻画.
(1)求的值,并求出潮头从甲地到乙地的速度;
(2)11:59时,小红骑单车从乙地出发,沿江边公路以千米/分的速度往甲地方向去看潮,问她几分钟后与潮头相遇?
(3)相遇后,小红立即调转车头,沿江边公路按潮头速度与潮头并行,但潮头过乙地后均匀加速,而单车最高速度为千米/分,小红逐渐落后,问小红与潮头相遇到落后潮头1.8千米共需多长时间?(潮水加速阶段速度,是加速前的速度).
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【题目】在中,垂直平分,分别交、于点、,垂直平分,分别交,于点、.
⑴如图①,若,求的度数;
⑵如图②,若,求的度数;
⑶若,直接写出用表示大小的代数式.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E为AC上一点,且AE=BC,过点A作AD⊥CA,垂足为A,且AD=AC,AB、DE交于点F.试判断线段AB与DE的数量关系和位置关系,并说明理由.
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