【题目】如图,已知BC是⊙O的直径,AD切⊙于点A,CD∥OA交⊙O于另一点E.
(1)求证:△ACD∽△BCA;
(2)若A是⊙O上一动点,则
①当∠B=_____时,以A,O,C,D为顶点的四边形是正方形;
②当∠B=_____时,以A,O,C,E为顶点的四边形是菱形.
【答案】(1)详见解析;(2)①45°;②60°
【解析】
(1)证明∠BAC=∠ADC与∠ACD=∠ACO,即可证明△ACD∽△BCA;
(2)①当∠B=45°时,以A,O,C,D为顶点的四边形是正方形;②当∠B=60°时,以A,O,C,D为顶点的四边形是棱形.
解:(1)证明:∵AD 切⊙O 于点 A,
∴OA⊥AD,
∵CD∥OA,
∴∠ADC=90°,
∵BC 是⊙O 的直径,
∴∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠ADC,
又∵CD∥OA,
∴∠ACD=∠CAO,
∵OA=OC,
∴∠ACO=∠CAO,
∴∠ACD=∠ACO,
∴△ACD∽△BCA;
(2)①∵四边形AOCD为正方形,
∴∠AOC=90°,
∵OA=OC,
∠OCA=∠OAC=45°,
∵∠BAC=90°,
∴∠B=90°﹣45°=45°,
故答案为45°;
②连接AE,
∵AD为切线,
∴∠DAE=∠ECA,∠OAD=90°
∵四边形AOCE为菱形,
∠OAC=∠EAC,
∴∠DAE=∠ECA=∠OAC=30°
∴∠ACO=30°,
∴∠AOB=∠ACO+∠OAC=30°+30°=60°
∵OA=OB,
∴∠B=60°.
故答案为 60°.
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【题目】(1)方法选择:如图①,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,AB=BC=AC.求证:BD=AD+CD.
小颖认为可用截长法证明:在DB上截取DM=AD,连接AM…
小军认为可用补短法证明:延长CD至点N,使得DN=AD…
请你选择一种方法证明.
(2)类比探究:(探究1)如图②,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD,BC是⊙O的直径,AB=AC.试用等式表示线段AD,BD,CD之间的数量关系,井证明你的结论.
(探究2)如图③,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD.若BC是⊙O的直径,∠ABC=30°,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是 .
(3)拓展猜想:如图④,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,连接AC,BD.若BC是⊙O的直径,BC:AC:AB=a:b:c,则线段AD,BD,CD之间的等量关系式是 .
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣(2m+1)x+m2﹣4=0有两个不相等的实数根
(1)求实数m的取值范围;
(2)若两个实数根的平方和等于15,求实数m的值.
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【题目】如图,AB为⊙O直径,点D为AB下方⊙O上一点,点C为弧ABD中点,连接CD,CA.
(1)若∠ABD=α,求∠BDC(用α表示);
(2)过点C作CE⊥AB于H,交AD于E,∠CAD=β,求∠ACE(用β表示);
(3)在(2)的条件下,若OH=5,AD=24,求线段DE的长.
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【题目】 郑州某商场在“六一”儿童节购进一批儿童智力玩具.已知成批购进时单价20元,调查发现:该玩具的月销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系,下表是月销售量、销售单价的几组对应关系:
月销售单价x/元 | 30 | 35 | 40 | 45 |
月销售量y/个 | 230 | 180 | 130 | m |
(1)求y与x的函数关系式;
(2)根据以上信息填空:
①m=______;
②当销售单价x=______元时,月销售利润最大,最大利润是______元;
(3)根据物价部门规定,每件玩具售价不能高于40元,若月销售利润不低于2520元,试求销售单价x的取值范围.
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【题目】某气球内充满了一定质量的气体,当温度不变时,气球内气体的气压p(单位:千帕)随气体体积V(单位:立方米)的变化而变化,p随V的变化情况如表所示.
P | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 4 | … |
V | 64 | 48 | 38.4 | 32 | 24 | … |
(1)写出一个符合表格数据的p关于V的函数解析式
(2)当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,依照(1)中的函数解析式,基于安全考虑,气球的体积至少为多少立方米?
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【题目】已知△ABC是边长为4的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6,点D是射线OM上的动点,当点D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE,设OD=m.
(1)问题发现
如图1,△CDE的形状是 三角形.
(2)探究证明
如图2,当6<m<10时,△BDE的周长是否存在最小值?若存在,求出△BDE周长的最小值;若不存在,请说明理由.
(3)解决问题
是否存在m的值,使△DEB是直角三角形?若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】按要求解方程:
(1)直接开平方法: 4(t-3)2=9(2t-3)2
(2)配方法:2x2-7x-4=0
(3)公式法: 3x2+5(2x+1)=0
(4)因式分解法:3(x-5)2=2(5-x)
(5)abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0)
(6)用配方法求最值:6x2-x-12
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