Question

3．如图，抛物线C：y=-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）（常数t＞0）与x轴从左到右的交点为B，A，过线段OA的中点M作MP⊥x轴，交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）于点P，若OA•MP=12．
（1）求k的值；
（2）当t=1时，求AB的长，并求直线MP与抛物线C的对称轴之间的距离；
（3）用t表示抛物线C的对称轴．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），则可表示出MP，由M为OA的中点，可求得OA，由条件可求得xy，则可求得k的值；
（2）把t=1，代入抛物线解析式，令y=0可求得A、B两点的坐标，可求得AB的长，再求得抛物线的对称轴和直线MP的方程，可求得直线MP与对称轴之间的距离；
（3）同（2）的方法可用t分别表示出A、B两点的坐标，再利用抛物线的对称性可表示出抛物线的对称轴．

解答 解：
（1）设P（x，y）则MP=y，
∵M为OA的中点，
∴OA=2x，
∵OA•MP=12，
∴2xy=12，
∴xy=6，
∴k=6；
（2）当t=1，y=0时，0=-$\frac{1}{2}$（x-1）（x-1+4），解得x=1或x=-3，
∴A（1，0）、B（-3，0），
∴AB=4；
∴抛物线C的对称轴为直线x=$\frac{1+（-3）}{2}$=-1，
∵OA=1，
∴MP为直线x=$\frac{1}{2}$，
∴直线MP与对称轴之间的距离为$\frac{1}{2}$-（-1）=$\frac{3}{2}$；
（3）在y=-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）中，令y=0可得-$\frac{1}{2}$（x-t）（x-t+4）=0，解得x=t或x=t-4，
∴A（t，0），B（t-4），
∴抛物线C的对称轴为x=$\frac{t+（t-4）}{2}$=t-2．

点评 本题为二次函数和反比例函数的综合应用，涉及二次函数的性质、一元二次方程、分类讨论思想和方程思想等知识．在（1）中注意方程思想的应用，在（2）中求得A、B的坐标是解题的关键，在解第（3）问时类比第（2）问答题过程即可．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．