Question

（2013•鄂州）已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F．
（1）求证：DE为⊙O的切线．
（2）求证：AB：AC=BF：DF．

Answer 1

分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△ABD∽△CAD，推出

AB

AC

=

BD

AD

，证△FAD∽△FDB，推出

BD

AD

=

BF

DF

，即可得出AB：AC=BF：DF．

解答：证明：（1）连结DO、DA，
∵AB为⊙O直径，
∴∠CDA=∠BDA=90°，
∵CE=EA，
∴DE=EA，
∴∠1=∠4，
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∵∠4+∠3=90°，
∴∠1+∠2=90°，
即：∠EDO=90°，
∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线；
           
（2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°，
∴∠4=∠DBA，
∵∠CDA=∠BDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴

AB

AC

=

BD

AD

，
∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°，
又∵OD=OB，
∴∠BDO=∠DBO，
∴∠3=∠FDB，
∵∠F=∠F，
∴△FAD∽△FDB，
∴

BD

AD

=

BF

DF

，
∴

AB

AC

=

BF

DF

，
即AB：AC=BF：DF．

点评：本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比较典型，是一道比较好的题目．