Question

【题目】求证：对角线互相垂直圆内接四边形，自对角线的交点向一边作垂线，其延长线必平分对边．

要求：（1）在给出的圆内接四边形作出PE⊥BC于点E，并延长EP与AD交于点F，不写作法，保留作图痕迹

（2）利用（1）中所作的图形写出已知、求证和证明过程．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）DF=FP=AF，点F为AD的中点，过程见解析

【解析】

（1）过P作BC的垂线即可得到答案；（2）根据题意写好已知，求证，利用圆周角定理及直角三角形的性质证明

解：（1）补全的图形如图所示；

（2）已知：四边形ABCD为圆内接四边形，AC⊥BD，PE⊥BC．延长EP交AD于点F．

求证：点F为AD的中点

证明：∵AC⊥BD，PE⊥BC

∴∠CPD=∠CEF=∠APD=90°

∵EF是线段

∴∠CPE+∠CPD+∠DPF=180°，即∠CPE+∠DPF=90°

∵在Rt△CEP中，∠CPE+∠ECP=90°

∴∠ECP=∠DPF

∵∠ACB与∠ADB为同弧所对的圆周角

∴∠ACB=∠ADB，即∠ECP=∠PDF

∴∠DPF=∠PDF

∴△DPF为等腰三角形，DF=FP

∵∠APF=∠APD -∠DPF=90°-∠DPF，∠PAF=90°-∠PDF

∴∠APF=∠PAF

∴△APF为等腰三角形，PF=AF

即DF=FP=AF，点F为AD的中点．