Question

4．直线y=-x+6与x轴交于A，与y轴交于B，直线CD与y轴交于C（0，2）与直线AB交于D，过D作DE⊥x轴于E（3，0）．
（1）求直线CD的函数解析式；
（2）P是线段OA上一动点，点P从原点O开始，每秒一个单位长度的速度向A运动（P与O，A不重合），过P作x轴的垂线，分别与直线AB，CD交于M，N，设MN的长为S，P点运动的时间为t，求出S与t之间的函数关系式（写出自变量的取值范围）
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）由条件可先求得D点坐标，再利用待定系数法可求得直线CD的函数解析式；
（2）用t可分别表示出M、N的坐标，则可表示出S与t之间的关系式；
（3）由条件可知MN∥DE，利用平行四边形的性质可知MN=DE，由（2）的关系式可得到关于t的方程，可求得t的值．

解答 解：
（1）∵直线CD与y轴相交于（0，2），
∴可设直线CD解析式为y=kx+2，
把x=3代入y=-x+6中可得y=3，
∴D（3，3），
把D点坐标代入y=kx+2中可得3=3k+2，解得k=$\frac{1}{3}$，
∴直线CD的函数解析式为y=$\frac{1}{3}$x+2；
（2）由题意可知OP=t，
把x=t代入y=-x+6中可得y=-t+6，
∴M（t，-t+6），
把x=t代入y=$\frac{1}{3}$x+2中可得y=$\frac{1}{3}$t+2，
∴N（t，$\frac{1}{3}$t+2），
∴MN=|-t+6-（$\frac{1}{3}$t+2）|=|-$\frac{4}{3}t$+4|，
∵点P在线段OA上，且A（6，0），
∴0＜t＜6；
（3）由题意可知MN∥DE，
∵以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形，
∴MN=DE=3，
∴|-$\frac{4}{3}t$+4|=3，解得t=$\frac{3}{4}$或t=$\frac{21}{4}$，
即当t的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{21}{4}$时，以M，N，E，D为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、平行四边形的性质及方程思想等知识．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，注意待定系数法的应用，在（2）中用t表示出MN的长是解题的关键，在（3）中由平行四边形的性质得到关于t的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．