Question

【题目】图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连结AB、AE、BE．已知tan∠CBE= ，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．

（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；
（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3）．

∵将点E（0，3）代入抛物线的解析式得：﹣3a=3，

∴a=﹣1．

∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）（x﹣3）=﹣x2+2x+3．

∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴B（1，4）

（2）

解：如图1所示：过点B作BF⊥y轴，垂足为F．

∵A（3，0），E（0，3），

∴OE=OA=3．

∴∠OEA=45°．

∵E（0，3），B（1，4），

∴EF=BF．

∴∠FEB=45°．

∴∠BEA=90°．

∴AB为△ABE的外接圆的直径．

∵∠FEB=∠OEA=45°，∠EOA=∠BFE，

∴△BFE∽△AOE．

∴tan∠EAB= = ．

∵tan∠CBE= ，

∴∠CBE=∠EAB．

∵∠EAB+∠EBA=90°，

∴∠CBE+∠EBA=90°，即∠CBA=90°．

∴CB是△ABE的外接圆的切线

（3）

解：如图2所示：

∵ 且∠DOE=∠BEA=90°，

∴△EOD∽△AEB．

∴当点P与点O重合时，△EPD∽△AEB．

∴点P的坐标为（0，0）．

过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′．

∵∠P′ED=∠DEO，∠DOE=∠EDP′，

∴△EDP′∽△EOD．

又∵△EOD∽△AEB，

∴△EDP′∽△AEB．

∵∠ODP′+∠OP′D=90°，∠DEP′+∠OP′D=90°，

∴∠ODP′=∠DEP′．

∴ = ，即 ．

∴OP′= ．

∴点P′的坐标为（0，﹣ ）．

过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．

∵∠EDP″=∠EDO，∠EOD=∠DEP″，

∴△EDO∽△P″DE．

∵又∵△EOD∽△AEB，

∴△EDP″∽△AEB．

∴∠EP″O=∠BAE．

∴tan∠EP″O= = ，即 = ．

∴OP″=9．

∴P″（9，0）．

综上所述，点P的坐标为（0，0）或（0，﹣ ）或（9，0）

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣3），将点E（0，3）代入抛物线的解析式求得a的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）过点B作BF⊥y轴，垂足为F．先依据配方法可求得点B的坐标，然后依据点A、B、E三点的坐标可知△BFE和△EAO为等腰直角三角形，从而可证明△BAE为直角三角形，接下来证明△BFE∽△EOA，由相似三角形的性质可证明 = ，从而可得到∠CBE=∠EAB，于是可证明∠CBA=90°，故此CB是△ABE的外接圆的切线；（3）过点D作DP′⊥DE，交y轴与点P′，过点E作EP″⊥DE，交x轴与点P″．然后证明△DEO、△P′DO、△EP″O均与△BAE相似，然后依据相似三角形的性质分别可求得DO、OP′、OP″的长度，从而可求得点P的坐标．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的图象和二次函数的性质的相关知识点，需要掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．