【题目】如图,C 是线段 AB 上一点,且△ACD 和△BCE 都是等边三角形,连接 AE、BD 相交于点 O,AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N,连接 MN、OC,则下列所给的结论中:①AE=BD;②CM=CN;③MN∥AB;④∠AOB=120;⑤OC 平分∠AOB.其中结论正确的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
【答案】D
【解析】
由题意易证:△ACE△DCB,进而可得AE=BD;由△ACE△DCB,可得∠CAE=∠CDB,从而△ACM △DCN,可得:CM=CN;易证△MCN是等边三角形,可得∠MNC=∠BCE,
即MN∥AB;由∠CAE=∠CDB,∠AMC=∠DMO,得∠ACM=∠DOM=60°,即∠AOB=120;作CG⊥AE,CH⊥BD,易证CG=CH,即:OC 平分∠AOB.
∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形,
∴AC=DC,CE=CB,∠ACE=∠DCB=120°,
∴△ACE△DCB(SAS)
∴AE=BD,
∴①正确;
∵△ACE△DCB,
∴∠CAE=∠CDB,
∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形,
∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°,AC=DC,
在△ACM 和△DCN中,
∵
∴△ACM △DCN(ASA),
∴CM=CN,
∴②正确;
∵CM=CN,∠DCE=60°,
∴△MCN是等边三角形,
∴∠MNC=60°,
∴∠MNC=∠BCE,
∴MN∥AB,
∴③正确;
∵△ACE△DCB,
∴∠CAE=∠CDB,
∵∠AMC=∠DMO,
∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO,
即:∠ACM=∠DOM=60°,
∴∠AOB=120,
∴④正确;
作CG⊥AE,CH⊥BD,垂足分别为点G,点H,如图,
在△ACG和△DCH中,
∵
∴△ACG△DCH(AAS),
∴CG=CH,
∴OC 平分∠AOB,
∴⑤正确.
故选D.
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【题目】已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图1摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上,∠ACB=∠EDF=90°,∠DEF=45°,AC=8cm,BC=6cm,EF=9cm,如图2,△DEF从图1的位置出发,以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).解答下列问题:
(1)用含t的代数式表示线段AP= ;
(2)当t为何值时,点E在∠A的平分线上?
(3)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(4)连接PE,当t=1(s)时,求四边形APEC的面积.
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【题目】如图,二次函数的图象与x轴交于A(﹣3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B、D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围;
(3)若直线与y轴的交点为E,连结AD、AE,求△ADE的面积.
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【题目】如图所示.在△ABC中,内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,连接CP.下列结论:①∠ACB=2∠APB;②S△PAC:S△PAB=AC:AB;③BP垂直平分CE;④∠PCF=∠CPF.其中,正确的有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
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【题目】如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5 m,某一时刻AB在阳光下的投影BC=2 m.
(1)请你画出此时DE在阳光下的投影;
(2)在测量AB的投影长时,同时测量出DE在阳光下的投影长为5 m,请你计算DE的长.
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【题目】如图,某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米,高为3米的玻璃隔板组成,三块玻璃摆放时夹角相同.若入口处两根立柱之间的距离为2米,则两立柱底端中点到中央转轴底端的距离为( )
A. 米 B. 2米 C. 2米 D. 3米
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC中点,PE,PF分别交AB,AC于点E,F,给出下列四个结论:①△APE≌△CPF;②AE=CF;③△EAF是等腰直角三角形;④S△ABC=2S四边形AEPF,上述结论正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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