Question

【题目】如图，C 是线段 AB 上一点，且△ACD 和△BCE 都是等边三角形，连接 AE、BD 相交于点 O，AE、BD 分别交 CD、CE 于 M、N，连接 MN、OC，则下列所给的结论中：①AE＝BD；②CM＝CN；③MN∥AB；④∠AOB＝120；⑤OC 平分∠AOB．其中结论正确的个数是（ ）

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】D

【解析】

由题意易证：△ACE△DCB，进而可得AE＝BD；由△ACE△DCB，可得∠CAE=∠CDB，从而△ACM △DCN，可得：CM＝CN；易证△MCN是等边三角形，可得∠MNC=∠BCE，

即MN∥AB；由∠CAE=∠CDB，∠AMC=∠DMO，得∠ACM=∠DOM=60°，即∠AOB＝120；作CG⊥AE，CH⊥BD，易证CG=CH，即：OC 平分∠AOB．

∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，

∴AC=DC，CE=CB，∠ACE=∠DCB=120°，

∴△ACE△DCB(SAS)

∴AE＝BD，

∴①正确；

∵△ACE△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，

∵△ACD 和△BCE 都是等边三角形，

∴∠ACD=∠BCE=∠DCE=60°，AC=DC，

在△ACM 和△DCN中，

∵

∴△ACM △DCN（ASA）,

∴CM＝CN，

∴②正确；

∵CM＝CN，∠DCE=60°，

∴△MCN是等边三角形，

∴∠MNC=60°，

∴∠MNC=∠BCE，

∴MN∥AB，

∴③正确；

∵△ACE△DCB，

∴∠CAE=∠CDB，

∵∠AMC=∠DMO，

∴180°-∠CAE-∠AMC=180°-∠CDB-∠DMO，

即：∠ACM=∠DOM=60°，

∴∠AOB＝120，

∴④正确；

作CG⊥AE，CH⊥BD，垂足分别为点G，点H，如图，

在△ACG和△DCH中，

∵

∴△ACG△DCH（AAS），

∴CG=CH，

∴OC 平分∠AOB，

∴⑤正确.

故选D.