Question

2．已知方程x²-6x+7=0的两个根是一个直角三角形的两条直角边的边长，求这个直角三角形斜边上的高．

Answer 1

分析 设方程x²-6x+7=0的两根分别为m、n，由根与系数的关系可得出m+n=6、mn=7，进而可得出斜边长$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$的值，再利用面积法即可得出直角三角形斜边上的高．

解答 解：设方程x²-6x+7=0的两根分别为m、n，
则m+n=6，mn=7，
∴斜边边长为$\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}$=$\sqrt{（m+n）^{2}-2mn}$=$\sqrt{22}$，
由面积法得：斜边上的高为$\frac{mn}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{（3-\sqrt{2}）×（3+\sqrt{2}）}{\sqrt{22}}$=$\frac{7\sqrt{22}}{22}$．
答：直角三角形斜边上的高为$\frac{7\sqrt{22}}{22}$．

点评 本题考查了根与系数的关系以及三角形的面积，借助根与系数的关系找出斜边长度是解题的关键．