Question

10．已知直线y=3x+3与x轴交于点A，与y轴交于点D，与直线y=$\frac{3}{4}$x交于点E．过点D作DC∥x轴，交直线y=$\frac{3}{4}$x于点C，过点C作CB∥AD交x轴于点B．点P从点O出发，沿线段OC向终点C运动，点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．若P、Q同时出发，速度均为1单位长度/s，时间为t s．当P、Q两点有一点到达终点时，它们均停止运动．将线段PQ绕点P沿顺时针方向旋转90°．当点Q落在四边形ABCD一边所在的直线上时，t的值为2．

Answer 1

分析 首先求出点D的坐标是多少，进而确定出线段CD所在的直线的解析式；然后联立CD所在直线的解析式：y=$\frac{3}{4}$x，求出点C的坐标是多少，再求出直线BC的解析式，设点M的坐标为（x，3x-9），同时得出点P和点Q的坐标，根据两点间的距离公式得出PQ=PM，继而得出答案．

解答 解：如图2，点Q落在四边形ABCD的BC边所在的直线上，

∵y=3x+3与y轴的交点D的坐标是（0，3），
∴线段CD所在的直线的解析式是：y=3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=3}\\{y=\frac{3}{4}x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
即点C的坐标是（4，3）；
∵CB∥AD，
∴设直线CB的解析式为y=3x+b，
把C（4，3）代入可得：12+b=3，
解得：b=-9，
∴y=3x-9，
当y=0时，x=3，
设点M的坐标为（x，3x-9），
因为直线OC过原点和点C（4，3），可得直线OC的解析式为：y₁=$\frac{4}{3}$x；
当点Q落在四边形ABCD一边所在的直线上时，点P的坐标为（$\frac{3}{5}t，\frac{4}{5}t$），点Q的坐标为（3-t，4），
将线段PQ绕点P沿顺时针方向旋转90°，可得PQ=PM，
可得：$（\frac{3}{5}t-3+t）^{2}+（\frac{4}{5}t-4）^{2}=（\frac{3}{5}t-x）^{2}$+$（\frac{4}{5}t-3x+9）^{2}$
2[$（\frac{3}{5}t-3+t）^{2}+（\frac{4}{5}t-4）^{2}$]=（3-t-x）²+（4-3x+9）²
联立两个方程解得：t=2．
故答案为：2．

点评 此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．同时还考查了点的坐标的求法，以及直线的解析式的求法，还有直线和圆相切的性质的应用，要熟练掌握．