Question

3．已知抛物线C₁：y=x²+3x-4．
（1）如图1，抛物线C₁与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C，求AB和OC的长度．
（2）将抛物线C₁平移（上下或左右）得抛物线C₂，抛物线C₂与直线x=2交于点E，点E在第一象限且点E关于原点的对称点F也在抛物线C₂上，EF=4$\sqrt{5}$，求抛物线C₁平移至抛物线C₂的路径．
（3）抛物线C₃：y=（x-m）²+（x-m）+2m+1经过点P（m，n）
①n=2m+1；（用含有m的式子表示）；点P在一条定直线l上运动，则直线l的解析式为y=2x+1．
②抛物线C₃与直线l的另一个交点为Q，以PQ为直径的圆经过原点O，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线和坐标轴的交点坐标的特点直接计算即可；
（2）先设出点E坐标，进而表示出点F的坐标，用EF=4$\sqrt{5}$建立方程求出点E，F坐标，进而确定出抛物线C₂的解析式，用抛物线C₁与C₂的顶点坐标的平移特点得出抛物线平移的特点；
（3）①根据点P在抛物线C₃上，代入解析式中即可得出结论，进而确定出直线l解析式；
②先确定出点Q的坐标，进而得出PQ的中点坐标，再求出OM，PQ的长，用点O在以PQ为直径的圆上，建立方程求解即可得出m．

解答 解：（1）令y=0，则x²+3x-4=0，
∴x=-4或x=1，
∵抛物线C₁与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
∴A（-4，0），B（1，0），
∴AB=5．
令x=0，则y=-4，
∴C（0，-4）．
∴OC=4，
（2）∵抛物线C₂与直线x=2交于点E．设点E的坐标为（2，n），（n＞0），
∵点E在第一象限且点E关于原点的对称点F，
∴F（-2，-n），
∵EF=4$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{{4}^{2}+（2n）^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴n=-4（舍）或n=4，
∴E（2，4），F（-2，-4），
∵抛物线C₁平移（上下或左右）得抛物线C₂，
∴设抛物线C₂解析式为y=x²+bx+c，
∵点E，F都在抛物线C₂上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=4}\\{4-2b+c=-4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-4}\end{array}\right.$，
∴抛物线C₂解析式为y=x²+2x-4=（x+1）²-5，
∴抛物线C₂顶点P坐标为（-1，-5），
∵抛物线C₁：y=x²+3x-4的顶点G坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$），
∴直线PQ解析式为y=$\frac{5}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
∴抛物线C₁平移至抛物线C₂的路径是沿着直线y=$\frac{5}{2}$x-$\frac{5}{2}$，从点G（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）到点P（-1，-5），方向平移了$\frac{\sqrt{29}}{4}$个单位．
（3）①∵y=（x-m）²+（x-m）+2m+1经过点P（m，n），
∴2m+1=n，
即：n=2m+1，
∴直线l的解析式为y=2x+1，
故答案为：2m+1；y=2x+1；
②∵抛物线C₃：y=（x-m）²+（x-m）+2m+1①，直线l的解析式为y=2x+1②，
联立①②解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=2m+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=m+1}\\{y=2m+3}\end{array}\right.$，
∴P（m，2m+1），Q（m+1.2m+3），
∴PQ的中点M的坐标为（m+$\frac{1}{2}$，2m+2），PQ=$\sqrt{（m+1-m）^{2}+[（2m+3）-（2m+1）]^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴OM=$\sqrt{（m+\frac{1}{2}）^{2}+（2m+2）^{2}}$
∵以PQ为直径的圆经过原点O，
∴OM=$\frac{1}{2}$PQ，
∴$\sqrt{（m+\frac{1}{2}）^{2}+（2m+2）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴m=$\frac{-9±\sqrt{21}}{10}$．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线与坐标轴的交点坐标的确定，定直线的解析式的确定方法，对称点，抛物线的平移，解本题的关键是用方程的思想解决问题，确定出抛物线C₁平移至抛物线C₂的路径，是解本题的难点．