Question

10．如图，抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（1、0）和点B（4、0），与x轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式；
（2）点P（m、0）是线段OB上一动点（不与点O、B重合），过点P作x轴的垂线分别交直线BC和抛物线于点M、N，当MN取最大值时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，判断此时四边形OCMN是平行四边形还是菱形，为什么？

Answer 1

分析 （1）根据题意列方程组即可得到结论；
（2）根据二次函数的解析式得到C（0，3），设BC的解析式为y=kx+b，将B（4、0），C（0，3）代入得到y=-$\frac{3}{4}$x+3，由点P（m、0），得到M（m，-$\frac{3}{4}$m+3），N（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3），于是得到结论；
（3）根据平行四边形的判定定理得到四边形OCMN是平行四边形，根据直线CN和直线OM的斜率的积不等于-1，即可得到结论．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+3与x轴交于点A（1、0）和点B（4、0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+3=0}\\{16a+4b+3=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{15}{4}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3；
（2）由y=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{15}{4}$x+3，当x=0时，y=3，
∴C（0，3），设BC的解析式为y=kx+b，将B（4、0），C（0，3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∵点P（m、0），
∴M（m，-$\frac{3}{4}$m+3），N（m，$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3），
∴MN=-$\frac{3}{4}$m+3-（$\frac{3}{4}$m²-$\frac{15}{4}$m+3）=-$\frac{3}{4}$m²+3m=-$\frac{3}{4}$（m-2）²+3，
∵-$\frac{3}{4}$＜0，
∴当m=2时，MN的最大值为3；
∴P（2，0）；
（3）四边形OCMN是平行四边形不是菱形，
理由：∵OC⊥x轴，MN⊥x轴，
∴OC∥MN，
∵OC=MN=3，
∴四边形OCMN是平行四边形，
∵C（0，3），M（3，$\frac{3}{4}$），N（3，-$\frac{3}{2}$），
∴直线CN的解析式为：y=-$\frac{3}{2}$x+3，
直线OM的解析式为：y=$\frac{9}{4}$x，
∵-$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$=-$\frac{27}{8}$≠-1，
∴CN不垂直于OM，
∴四边形OCMN是平行四边形不是菱形．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，二次函数的相似，正确的理解题意是解题的关键．