Question

已知：点D是Rt△ABC的BC边的一个动点（如图），过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F在AB边上（点F与点B不重合），且满足FE=BE，联结CF、DF．
（1）当DF平分∠CFB时，求证：：
（2）若AB=10，tanB=．当DF⊥CF时，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：∵DF平分∠CFB，
∴∠CFD=∠EFD，
∵DE⊥AB，FE=BE，
∴DF=BD，
∴∠EFD=∠DBF，
∵∠FCD=∠BCF，
∴△CFD∽△CBF，
∴，
∵DF=BD，
∴；

（2）解：∵AB=10，tanB=，
∴AC=6，BC=8，
∵tanB=．设DE=3x，则BE=4x，则BD=5x，CD=BC-BD=8-5x，
∵DE⊥AB，FE=BE，
∴DF=BD，
∴∠DFB=∠B，
∵DF⊥CF，
∴∠AFC+∠BFD=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠A=∠AFC，
∴AC=FC=6，
∴6²+（5x）²=（8-5x）²，
解得：x=，
故当DF⊥CF时，BD的长是．
分析：（1）利用由两对角相等的三角形相似即可证明△CFD∽△CBF，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明；
（2）利用已知条件可求出AC=6，BC=8，因为tanB=．可设DE=3x，则BE=4x，则BD=5x，CD=BC-BD=8-5x，再证明三角形ACF是等腰三角形，进而得到CF=6，根据勾股定理建立方程求出x的值即可．
点评：本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的运用、等腰三角形的判定和性质以及锐角三角函数的应用，题目的综合性很好，难度中等．