Question

【题目】如图，△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，∠DBC=∠BAC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠BAC=30°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）π﹣．

【解析】

试题分析：（1）求出∠ADB的度数，求出∠ABD+∠DBC=90°，根据切线判定推出即可；

（2）分别求出等边三角形DOB面积和扇形DOB面积，即可求出答案．

（1）证明：∵AB为⊙O直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠BAC+∠ABD=90°，

∵∠DBC=∠BAC，

∴∠DBC+∠ABD=90°，

∴AB⊥BC，

∵AB为直径，

∴BC是⊙O切线；

（2）解：连接OD，过O作OM⊥BD于M，

∵∠BAC=30°，

∴∠BOD=2∠A=60°，

∵OB=OD，

∴△OBD是等边三角形，

∴OB=BD=OD=2，

∴BM=DM=1，

由勾股定理得：OM=，

∴阴影部分的面积S=S扇形DOB﹣S△DOB=﹣×2×=π﹣．