Question

已知关于x的一元二次方程（m+2）x²+2mx+

2m-3

2

=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若

3

2

＜m＜6，试判断方程两个实数根的符号，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由题意可知：若方程有两个不相等的实数根，则判别式一定＞0，则据此可以求得m的取值范围；又因为是一元二次方程，所以二次项系数不能为0，即m+2≠0，则m≠-2；
（2）根据根与系数的关系以及m的取值范围可以确定两个实数根的符号．

解答：解：（1）△=（2m）²-4（m+2）•

2m-3

2

=-2m+12，
若方程有不等的实根，则必须使△＞0，即-2m+12＞0，解得：m＜6；
又因为m+2≠0，则m≠-2；所以m的取值范围是m＜6且m≠-2；
答：m的取值范围是m＜6且m≠-2．

（2）设方程的两个实根分别为α与β，则根据根与系数的关系得：α+β=-

2m

m+2

，α•β=

2m-3

2(m+2)

，
又知

3

2

＜m＜6，则-

2m

m+2

＜0，

2m-3

2(m+2)

＞0；
即α+β＜0，α•β＞0；所以方程有两个负实数根．

点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
同时还考查了根与系数的关系的应用．