Question

14．如图，在矩形ABCD中，AO=10，AB=8，分别以OC、OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，点D（3，10）、E（0，6），抛物线y=ax²+bx+c经过O，D，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？
（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使四边形MENC是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质可求得C点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）用t可分别表示出CQ、PC的长，当∠PQC=∠DAE=90°，有△ADE∽△QPC；当∠QPC=∠DAE=90°，有△ADE∽△PQC，利用相似三角形的性质可分别得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）由题意可知CE为平行四边形的对角线，根据抛物线的对称性可知当M为抛物线顶点时满足条件，再由平行四边形的性质可知线段MN被线段EC平分，可求得N点坐标．

解答 解：
（1）∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．
∴C（8，0），
∵抛物线y=ax²+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b=10}\\{64a+8b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x；
（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，
∴∠DEA=∠OCE，
由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．
而CQ=t，EP=2t，
∴PC=10-2t．
当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，
∴$\frac{CQ}{AE}$=$\frac{CP}{DE}$，即$\frac{t}{4}$=$\frac{10-2t}{5}$，解得t=$\frac{40}{13}$．
当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，
∴$\frac{PC}{AE}$=$\frac{CQ}{DE}$，即$\frac{10-2t}{4}$=$\frac{t}{5}$，解得t=$\frac{25}{7}$．
∴当t的$\frac{40}{13}$或$\frac{25}{7}$时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似；
（3）存在符合条件的M、N点，
EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，
若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；
则M（4，$\frac{32}{3}$）；
而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，
则N（4，-$\frac{14}{3}$）；
∴存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为M（4，$\frac{32}{3}$），N（4，-$\frac{14}{3}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用t表示出CQ和CP的长，根据相似三角形的性质得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中确定出M点的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．