Question

【题目】如图，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°．于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC=0.1km．

（1）试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等；

（2）求B点距水平面的高度（计算结果精确到0.01km，参考数据：≈1.73，tan75°≈3.73）

Answer 1

【答案】（1）BD=BA （2）0.32km

【解析】

（1）由已知条件易得∠AOC=90°，由此可得BC⊥AD，由∠DCF=∠DAC+∠ADC=60°结合∠DAC=30°可得∠ADC=30°，由此可得AC=DC，从而说明BC是AD的垂直平分线，由此即可得到BD=BA；

（2）过点B作BE⊥AC于点E，设AE=x，则由已知条件易得：BE=AE·tan∠BAE=tan75°·x，BE=CE·tan∠BCE=（0.1+x）tan30°，由此即可得到关于x的方程，解方程即可求得AE的长，进而可得BE的长.

（1）如图，

在△ACD中，∵∠DAC=30°，∠ACB=∠DCF=60°，

∴∠AOC=180°﹣∠DAC﹣∠ACB=90°，∠ADC=∠DCF﹣∠DAC=30°，

∴AC=DC、BC⊥AD，

∴BC是AD的中垂线，

∴BD=BA；

（2）如下图，作BE⊥AC，交CA延长线于点E，

设AE=x，

则BE=AEtan∠BAE=tan75°x，

∵AC=0.1，

∴CE=AC+AE=0.1+x，

在Rt△BCE中，∵tan∠BCE=，

∴tan60°=，即，

解得：x=0.0865，

则BE=tan75°x=3.73×0.0865≈0.32，

答：B点距水平面的高度约为0.32km．