Question

如图，已知以AB为直径，O为圆心的半圆与直线MN相切于点C，∠A=28°．
（1）求∠ACM的度数．
（2）若点A到直线MN的距离为6，直径AB的长为8，求弦AC的长．

Answer 1

解：（1）连接OC，
∵MN是⊙O切线，
∴∠OCD=90°，
又∵∠A=28°，OA=OC，
∴∠ACO=28°，
∴∠ACM=∠OCD-∠ACO=90°-28°=62°；

（2）过点A作AD⊥MN垂足为D，连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠A=28°，
∴ABC=62°，
∴∠ABC=∠ACM，
又∵∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴=，
∴6：AC=AC：8，
∴AC=4．
分析：（1）连接OC，由于OC是切线，那么∠OCD=90°，又∠A=28°，OA=OC，易求∠ACO=28°，从而可求∠ACM；
（2）过点A作AD⊥MN垂足为D，连接BC，由于AB是直径，那么∠ACB=90°，而∠A=28°，易求∠ABC，从而有∠ABC=∠ACM，而∠ADC=∠ACB=90°，易证△ADC∽△ACB，再利用比例线段可求AC．
点评：本题考查了切线的性质、直径所对的圆周角等于90°、相似三角形的判定和性质．解题的关键是连接OC，并过A作AD⊥MN垂足为D，连接BC，构造等腰三角形、直角三角形以及平行线．