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(2007•长沙)如图,平行四边形ABCD中,AB=4,BC=3,∠BAD=120°,E为BC上一动点(不与B重合),作EF⊥AB于F,FE,DC的延长线交于点G,设BE=x,△DEF的面积为S.
(1)求证:△BEF∽△CEG;
(2)求用x表示S的函数表达式,并写出x的取值范围;
(3)当E运动到何处时,S有最大值,最大值为多少?

【答案】分析:(1)因为∠B=∠GCE,∠BEF=∠GEC,所以△BEF∽△CEG;
(2)在平行四边形ABCD中,因为∠BAD=120°所以∠B=60°=∠ECG,又BE=x,EC=3-x,所以EF、CG可利用三角函数求出,即在△EFG中,边和边上的高就为已知,从而求出解析式;
(3)在(2)的基础上,寻求函数的最大值.
解答:(1)证明:∵AB∥GD,
∴∠B=∠GCE,
又∵∠BEF=∠GEC,
∴△BEF∽△CEG.

(2)解:由(1)DG为△DEF中EF边上的高,
在Rt△BFE中,∠B=60°,EF=BEsinB=x,(4分)
在Rt△CEG中,CE=3-x,CG=(3-x)cos60°=
∴DG=DC+CG=,(5分)
∴S=EF•DG=-x2+x,(6分)
其中0<x≤3.(7分)

(3)解:∵a=-,对称轴x=
∴当0<x≤3时,S随x的增大而增大,
∴当x=3,即E与C重合时,S有最大值.(9分)
S最大=3.(10分)
点评:此题考查内容较为丰富,既有平行四边形又有三角函数,难易程度适中.
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(1)求证:△BEF∽△CEG;
(2)求用x表示S的函数表达式,并写出x的取值范围;
(3)当E运动到何处时,S有最大值,最大值为多少?

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