Question

【题目】如图，反比例函数 y＝的图象与一次函数y＝mx＋b的图象交于两点A（1,3）,B（n,－1）．

（1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；

（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；

（3）连接AO、BO，求△ABO的面积；

（4）在y轴上存在点P，使△AOP为等腰三角形，请直接写出点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）y=，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，-）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．

【解析】

（1）利用待定系数法求得一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，当自变量取相同的值时，函数图象对应的点在上边的函数值大，据此即可确定；
（3）设一次函数交y轴于D，根据S△ABO=S△DBO+S△DAO即可求解；
（4）求得OA的长度，分O是顶角的顶点，和A是顶角顶点，以及OA是底边三种情况进行讨论即可求解．

解：（1）∵A（1，3）在反比例函数图象上，∴k=3，
∵B（n,－1）在y=的图象上，
∴n=-3．
∵A（1，3），B（-3，-1）在一次函数y＝mx＋b图象上，
∴，
解得m=1，b=2．
∴两函数关系式分别是：y=和y=x+2．
（2）由图象得：当-3＜x＜0或x＞1时，一次函数的值大于反比例函数的值；
（3）设一次函数y=x+2交y轴于D，则D（0，2），则OD=2，

∵A（1，3），B（-3，-1）
∴S△DBO=×3×2=3，S△DAO=×1×2=1
∴S△ABO=S△DBO+S△DAO=4．
（4）OA= = ，

O是△AOP顶角的顶点时，OP=OA，则P（0，-）或P（0，），

A是△AOP顶角的顶点时，由图象得，P（0，6），

OA是底边，P是△AOP顶角的顶点时，

p>

设 P（0，x），分别过A、P作AN⊥x轴于N，PM⊥AN于M，

则AP=OP=x，PM=1，AM=3-x,

在Rt△APM中， 即

解得x= ，

∴P（0，）．

故答案为：（1）y=，y=x+2；（2）-3＜x＜0或x＞1；（3）4；（4）P（0，-）或P（0，）或P（0，6）或P（0，）．