Question

18．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=2ax+6与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=ax²-4ax+b经过B、C两点，与x轴交于另一点A．
（1）如图1，求a，b的值；
（2）如图2，点D在第一象限内的抛物线上，过点D作DE⊥BC于点E，作DG⊥x轴，交线段BC于点F，垂足为点G，若BE=2EF，求点D的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为2t，PQ⊥x轴于点Q，R为OQ的中点，点H在线段DF上，DH=t，点M在RH的延长线上，∠RMB=45°，射线BM交射线FD于点N，当DN=2t时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先根据坐标轴上点的特点求出点B，C坐标，将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出a；
（2）设出点D坐标，表示出DF，FG，在得出DF=$\sqrt{2}$EF，BF=$\sqrt{2}$FG，进而得到DF=2FG，用它建立方程求解即可；
（3）先判断出∠MBT=∠RHG，在用三角函数的定义得出$\frac{NS}{BS}=\frac{RG}{HG}$，表示出NS，BS，RG，HG，即可建立方程求解即可．

解答 解（1）直线y=2ax+6与x轴的正半轴交于点B，与y轴交于点C
∴C（0，6），B（-$\frac{3}{a}$，0）
∵抛物线y=ax²-4ax+b经过B、C两点
∴b=0，
a×（-$\frac{3}{a}$）²-4a×（-$\frac{3}{a}$）+b=0
∴a=-$\frac{1}{2}$
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6，
直线BC的解析式为y=-x+6
设D（m，-$\frac{1}{2}$m²+2m+6），
∵DG⊥x轴
∴F（m，-m+6），
∴DF=-$\frac{1}{2}$m²+2m+6-（-m+6）=-$\frac{1}{2}$m²+3m，FG=-m+6
∵C（0，6），B（6，0）
∴OB=OC=6
∴∠OBC=∠OCB=45°
∵DG⊥x轴，DE⊥BC
∴∠DFE=∠BFG=45°
∴DF=$\sqrt{2}$EF，BF=$\sqrt{2}$FG
∵BE=2EF
∴BF=EF
∴DF=2FG
∴-$\frac{1}{2}$m²+3m=2（-m+6）
∴m=6（舍）或m=4
∴D（4，6）
（3）如图3．

过N作NS⊥BC于点D，设RM与BC相交于点T
点P横坐标为2t，PQ⊥x轴于点Q
∴Q（2t，0）
∵R是OQ中点，
∴R（t，0）
∵∠RMB=45°=∠HFT，∠HTF=∠BTM
∴180°-∠RMB-∠BTM=180°-∠HFT-∠HTF
∴∠MBT=∠RHG
∴tan∠MBT=tan∠RHG
∴$\frac{NS}{BS}=\frac{RG}{HG}$
∵NF=DF+DN=4+2t，FG=2
∴NS=SF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$NF=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$t，BF=2$\sqrt{2}$
∴BS=2$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$t+2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$t
∵G（4，0），
∴RG=4-t
∵DG=6，DH=t，
∴HG=6-t
∴$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{2}t}{4\sqrt{2}+\sqrt{2}t}=\frac{4-t}{6-t}$，
解得t=1
此时2t=2，即P点的横坐标为2，
代入抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+6的解析式中，
得，纵坐标为8，
∴P点的坐标为（2，8）．

点评 此题二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，解本题的关键是判断出DF=2FG，用方程的思想是解决此类题目的关键，用三角函数建立方程是解本题的难点．