Question

17．如图，已知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使AC=3BC，CD与⊙O相切于D点．若CD=$\sqrt{3}$，则劣弧AD的长为$\frac{2}{3}$π．

Answer 1

分析 如图，连接DO，首先根据切线的性质可以得到∠ODC=90°，又AC=3BC，O为AB的中点，由此可以得到∠C=30°，接着利用30°的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解．

解答 解：如图，连接DO，
∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∴∠ODC=90°，
而AB是⊙O的一条直径，AC=3BC，
∴AB=2BC=OC=2OD，
∴∠C=30°，
∴∠AOD=120°
∴OD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CD，
∵CD=$\sqrt{3}$，
∴OD=BC=1，
∴$\widehat{AD}$的长度=$\frac{120•π•1}{180}$=$\frac{2π}{3}$，
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了圆的切线性质及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．