【题目】在平面直角坐标系中,A(0,a)、B(﹣b,0),若b=+4,C点是B点关于y轴的对称点.
(1)判断△ABC的形状并证明;
(2)P点在第一象限,且∠APC=135°,试探究关于PA、PB、PC三条线段的确定数量关系;
(3)E点在BC上,F为线段AE的中点,EF绕E点顺时针旋转60°得到EG,E点从B点沿BC运动到C点,求G点随E点运动的路径长.
【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形,理由详见解析;(2)当点P在△AOC的外部时,PB﹣PC=PA,当点P在△AOC内部时,PA2=2PB2+PC2,证明详见解析;(3)6.
【解析】
(1)如图1中,△ABC是等腰直角三角形.根据等腰直角三角形的定义即可判断.
(2)结论::①当点P在△AOC的外部时,PB﹣PC=PA.如图2中,作AE⊥PA交PB于E.证明△BAE≌△CAP(SAS),△AEP是等腰直角三角形即可.②当点P在△AOC内部时,如图2﹣1中,PA2=2PB2+PC2.
(3)如图3中,连接AG,OG.首先证明∠EOG=30°,推出点G的运动轨迹是线段(图中线段G″G′),利用等腰直角三角形的性质求出G′G″即可.
(1)如图1中,△ABC是等腰直角三角形.理由如下:
∵b=
∴a﹣4≥0,8﹣2a≥0
∴a=4,b=4
∴A(0,4),B(0,﹣4)
∵B,C关于y轴对称,
∴C(4,0),
∴OA=OB=OC,
∵∠AOB=∠AOC=90°,
∴∠ABC=∠ACB=45°,
∴AB=AC,∠BAC=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形.
(2)结论:①当点P在△AOC的外部时,PB﹣PC=PA.
理由:如图2中,作AE⊥PA交PB于E.
∵∠APC+∠ABC=180°,
∴A,B,C,P四点共圆,
∴∠APE=∠ACB=45°,
∵∠EAP=90°,
∴∠AEP=∠APE=45°,
∴AE=AP,
∵∠BAC=∠EAP=90°,
∴∠BAE=∠CAP,
∵AB=AC,AE=AP,
∴△BAE≌△CAP(SAS),
∴BE=PC,
∴PB﹣PC=PB﹣BE=PE=PA.
②当点P在△AOC内部时,如图2﹣1中,PA2=2PB2+PC2.
理由:将△PBC绕点B顺时针旋转90°得到△HBA,
∵∠BHP=45°,∠BHA=∠BPC=135°,
∴∠AHP=90°,
∴PA2=AH2+PH2,
∵PC=AH,PH=PB,
∴PA2=PC2+2PB2.
(3)如图3中,连接AG,OG.
∵EF=EG,∠FEG=60°,
∴△EFG是等边三角形,
∴FG=FE=FA,
∴∠AGE=90°,∠EAG=30°,
∵∠AGE=∠AOE=90°,
∴A,E,G,O四点共圆,
∴∠EOG=∠EAG=30°,
∴点G的运动轨迹是线段(图中线段G″G′),
由题意△G′AG″是等腰直角三角形,AG′=AG″=2,
∴G′G″=6.
∴当E点从B点沿BC运动到C点,G点随E点运动的路径长为6.
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC,以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E,BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F.
(1)求证:∠ABC=2∠CAF;
(2)若AC=2,CE:EB=1:4,求CE的长.
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【题目】如图,在ABCD中,AD=2AB,F是AD的中点,作CE⊥AB,垂足E在线段AB上,连接EF,CF,则下列结论中一定成立的是______.(把所有正确结论的序号都填在横线上)
(1)∠DFC+∠FEC=90°;(2)∠B=∠AEF;(3)CF=EF;(4)
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【题目】如图,已知顶点为(﹣3,﹣6)的抛物线y=ax2+bx+c经过点(﹣1,﹣4),则下列结论中错误的是( )
A. b2>4ac
B. ax2+bx+c≥﹣6
C. 若点(﹣2,m),(﹣5,n)在抛物线上,则m>n
D. 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=﹣4的两根为﹣5和﹣1
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【题目】 某次学生夏令营活动,有小学生、初中生、高中生和大学生参加,共200人,各类学生人数比例见扇形统计图.
(1)参加这次夏令营活动的初中生共有______人.
(2)活动组织者号召参加这次夏令营活动的所有学生为贫困学生捐款.结果小学生每人捐款5元,初中生每人捐款10元,高中生每人捐款15元,大学生每人捐款20元,平均每人捐款多少元?
(3)在(2)的条件下,把每个学生的捐款数(以元为单位)一一记录下来,则在这组数据中,众数和中位数分别是多少?
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【题目】如图,抛物线y=ax2+bx+c的顶点为C(1,4),交x轴于点A(3,0),B两点,交y轴于点D.
(1)求点B、点D的坐标,
(2)判断△ACD的形状,并求出△ACD的面积.
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【题目】全善学校为了提高学生综合能力,培养学生兴趣,决定开设以下精品校本课程:A. 创新与实践,B. 数学之美,C.英美文学鉴赏,D. 小小外交家,为了解学生最喜欢哪一项校本课程,随机抽取了部分学生进行调查,并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图,请回答下列问题:
(1)这次被调查的学生共有______人;
(2)请你将条形统计图(2)补充完整;
(3)在平时的小小外交家的课堂学习中,有三男一女四名同学表现优秀,现决定从这四名同学中任选两名参加全国英语口语大赛,求恰好选到一男一女两位同学的概率(用树状图或列表法解答).
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【题目】一列快车从甲地始往乙地,一列慢车从乙地始往甲地,慢车的速度是快车速度的,两车同时出 发.设慢车行驶的时间为,两车之间的距离为,图中的折线表示与之间的函数关系.根据图象解决以下问题:
(1)甲、乙两地之间的距离为_______;点的坐标为__________;
(2)求线段的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)若第二列快车从乙地出发驶往甲地,速度与第一列快车相同.在第一列快车与慢车相遇30分钟后,第二列快车追上慢车.求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时?
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