Question

20．（1）感知：如图，分别以△ABC的三边为边长，在BC边的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，连接DE、EF，试猜想四边形ADEF的形状，并证明你的猜想．
（2）应用：当△ABC中有AB=AC时，四边形ADEF的形状是菱形．
（3）探究：①四边形ADEF是否随着△ABC形状的改变而永远存在，简要说明理由；
②如果四边形ADEF是正方形，则△ABC应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质推出∠BCE=∠FCA=60°，求出∠BCA=∠FCE，证△BCA≌△ECF，推出AD=EF=AB，同理得出DE=AF，即可得出答案；
（2）根据菱形的判定定理即可得到结论；
（3）①当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在，由∠BAC=60°，∠BAD=60°，∠CAF=60°，于是得到点D、A、F共线，即可得到四边形ADEF是否随着△ABC形状的改变而永远存在；
②当∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形，根据正方形的判定定理判断即可．

解答 解：（1）四边形ADEF是平行四边形．
∵等边三角形BCE和等边三角形ABD，
∴BE=BC，BD=BA，
又∵∠DBE=60°-∠ABE，∠ABC=60°-∠ABE，
∴∠DBE=∠ABC．
在△BDE和△BCA中$\left\{\begin{array}{l}{BE=BC}\\{∠DBE=ABC}\\{BD=BA}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△BCA，
∴DE=AC，
∵在等边三角形ACF中，AC=AF，
∴DE=AF，
同理DA=EF，
∴四边形ADEF是平行四边形；

（2）当AB=AC时，四边形ADEF是菱形；
理由：∵AB=AC，
∴AD=AF，
∴?ADEF是菱形．

（3）①当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在，
理由：∵∠BAC=60°，
∵∠BAD=60°，∠CAF=60°，
∴点D、A、F共线，
∴四边形ADEF是否随着△ABC形状的改变而永远存在；

②当∠BAC=150°且AB=AC，或∠ABC=∠ACB=15°时，四边形ADEF是正方形，
理由：∵∠BAC=150°，∠BAD=∠CAF=60°，
∴∠DAF=360°-150°-60°-60°=90°，
∵AB=AC，
∴AD=AF，
∴?AFED是正方形．

点评 本题考查了对平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定的理解和运用，同时也运用了等边三角形性质和全等三角形的性质和判定，题目较好，有一定的难度．