Question

6．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\sqrt{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$交x轴于A，B两点，交y轴于点C，抛物线上一点D的横坐标为-5．
（1）求直线BD的解析式；
（2）点E是线段BD上的动点，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当折线EF+BE最大时，在对称轴上找一点P，在y轴上找一点Q，连接QE、OP、PQ，求OP+PQ+QE的最小值；
（3）如图2，连接BC，把△OBC沿x轴翻折，翻折后的△OBC记为△OBC′，现将△OBC′沿着x轴平移，平移后△OBC′记为△O′B′C″，连接DO′、C″B，记C″B与x轴形成较小的夹角度数为α，当∠O′DB=α时，求出此时C″的坐标．

Answer 1

分析 （1）先求出B、D两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题．
（2）如图1中，设BD交y轴于K，则K（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），设E（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），则F（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\sqrt{3}$m+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），构建二次函数确定m的值，求出点E坐标，如图2中，作点E关于y轴的对称点N，EM⊥AB于M，连接MN，交对称轴于P，交y轴于Q，当M、N、P、Q共线时，OP+PQ+QE最小，最小值为MN，
（3）如图3中，作O′M⊥BD于M，设O′B=a，则O′M=$\frac{1}{2}$a，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DM=BD-BM=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，由△O′MD∽△C″O′B，得$\frac{O′M}{O′C″}$=$\frac{DM}{BO′}$，列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）令y=0，则=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x²-$\sqrt{3}$x+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=0，解得x=-4或1，
∴A（-4，0），B（1，0），
令x=0，则y=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴C（0，$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
当x=-5时，y=-$\frac{25\sqrt{3}}{3}$+5$\sqrt{3}$+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=-2$\sqrt{3}$，
∴点D坐标（-5，-2$\sqrt{3}$），
设直线BD解析式为y=kx+b则有$\left\{\begin{array}{l}{-5k+b=-2\sqrt{3}}\\{k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{b=-\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

（2）如图1中，设BD交y轴于K，则K（0，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），设E（m，$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），则F（m，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\sqrt{3}$m+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），

∴tan∠ABD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠ABD=30°，
∴EF+EB=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m²-$\sqrt{3}$m+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$-（$\frac{\sqrt{3}}{3}$m-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）+2（$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$m）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$（m+3）²+$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴m=-3时，EF+EB的值最大，此时点E坐标（-3，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），
如图2中，作点E关于y轴的对称点N，EM⊥AB于M，连接MN，交对称轴于P，交y轴于Q，

∵M、O关于对称轴对称，∴OP=PM，
E、N关于y轴对称，∴QE=QN，
∴OP+PQ+QE=PM+PQ+QN，
∴当M、N、P、Q共线时，OP+PQ+QE最小，最小值为MN，
在Rt△MNE中，MN=$\sqrt{E{M}^{2}+E{N}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}+{6}^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{93}$．
∴OP+PQ+QE的最小值为$\frac{2}{3}\sqrt{93}$．

（3）如图3中，作O′M⊥BD于M，设O′B=a，则O′M=$\frac{1}{2}$a，BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，DM=BD-BM=4$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，

∵∠O′DM=∠C″BO′，∠O′MD=∠BO′C″=90°，
∴△O′MD∽△C″O′B，
∴$\frac{O′M}{O′C″}$=$\frac{DM}{BO′}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}a}{\frac{4}{3}\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}a}{a}$，
∴a²+4a-32=0，
解得a=4或-8（舍弃），
∴C″坐标为（-3，-$\frac{4}{3}\sqrt{3}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、相似三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识的应用，学会利用对称的思想解决最小值问题，学会利用相似三角形的性质构建方程解决问题，属于中考压轴题．