Question

6．如图，已知抛物线y=一x²+2x+3与坐标轴交于A，B，C三点，抛物线上的点D与点C关于它的对称轴对称．
（1）直接写出点D的坐标和直线AD的解析式；
（2）点E是抛物线上位于直线AD上方的动点，过点E分别作EF∥x轴，EG∥y轴并交直线AD于点F、G，求△EFG周长的最大值；
（3）若点P为y轴上的动点，则在抛物线上是否存在点Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）令y=0得到关于x的方程，求得方程的解可求得点A和点B的坐标，将x=0代入抛物线的解析式求得对应的y值可得到点C的坐标，接下来求得抛物线的对称轴，利用抛物线的对称性可得到点D的坐标，然后利用待定系数法可求得直线AD的解析式；
（2）先证明△EFG为等腰直角三角形，则△EFG的周长=（2+$\sqrt{2}$）EG，设点E的坐标为（a，-a²+2a+3），G（a，a+1），列出EG与a的函数关系式可求得EG的最大值，故此可求得△EFG的周长的最大值；
（3）设点P的坐标为（0，a），点Q的坐标为（x，y），依据平行四边形的对角互相平分以及线段的中点坐标公式可求得x的值，然后将x的值代入抛物线的解析式求得对应的y值，于是可得到点Q的坐标．

解答 解：（1）令y=0得：-x²+2x+3=0，解得x=-1或x=3，
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0得：y=3，
∴C（0，3）．
∵抛物线的对称轴为x=-$\frac{2}{2×（-1）}$=1，
∴点D的坐标为（2，3）．
设直线AD的解析式为y=kx+b，将点A和点D的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=3}\\{-k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：k=1，b=1．
∴直线AD的解析式为y=x+1．
（2）∵直线AD的解析式为y=x+1，
∴∠DAB=45°．
∴∠EFG=45°．
∴△EFG为等腰直角三角形．
∴△EFG的周长=EF+EG+GF=（2+$\sqrt{2}$）EG．
设点E的坐标为（a，-a²+2a+3），G（a，a+1）．
∴EG=-a²+2a+3-（a+1）=-a²+a+2=-（a-$\frac{1}{2}$）²$+\frac{9}{4}$．
∴EG的最大值为$\frac{9}{4}$．
∴△EFG的周长的最大值=$\frac{9}{4}$×（2+$\sqrt{2}$）=$\frac{9}{2}$+$\frac{9\sqrt{2}}{4}$．
（3）设点P的坐标为（0，a），点Q的坐标为（x，y）
当点AD为平行四边形的对角线时，则$\frac{-1+2}{2}$=$\frac{0+x}{2}$，解得：x=1，
将x=1代入抛物线的解析式得：y=4，
∴点Q的坐标为（1，4）．
当AP为平行四边形的对角线时，$\frac{-1+0}{2}=\frac{x+2}{2}$，解得：x=-3，
将x=-3代入抛物线的解析式得：y=-12，
∴点Q的坐标为（-3，-12）．
当AQ为平行四边形的对角线时，$\frac{-1+x}{2}$=$\frac{0+2}{2}$，解得x=3，
将x=3代入抛物线的解析式得：y=0．
∴点Q的坐标为（3，0）．
综上所述，当以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，点Q的坐标为（1，4）或（-3，-12）或（3，0）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质、等腰直角三角形的性质和判定、平行四边形的性质，列出EG的长与a的函数关系式是解答问题（2）的关键，依据中点坐标公式求得点Q的横坐标是解答问题（3）的关键．