(2011•常德)如图,已知抛物线过点A(0,6),B(2,0),C(7,
).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若D是抛物线的顶点,E是抛物线的对称轴与直线AC的交点,F与E关于D对称,求证:∠CFE=∠AFE;
(3)在y轴上是否存在这样的点P,使△AFP与△FDC相似,若有请求出所有和条件的点P的坐标,若没有,请说明理由.
(1)解:设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,将A、B、C三点坐标代入,得,
解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+6;
(2)证明:设直线AC的解析式y=mx+n,
将A、C两点坐标代入,得,解得
,∴y=﹣
x+6,
∵y=x2﹣4x+6=
(x﹣4)2﹣2,∴D(4,﹣2),E(4,4),
∵F与E关于D对称,∴F(4,﹣8),则直线AF的解析式为y=﹣x+6,CF的解析式为y=
﹣22,
∴直线AF,CF与x轴的交点坐标分别为(,0),(
,0),
∵4﹣=
﹣4,∴两个交点关于抛物线对称轴x=4对称,∴∠CFE=∠AFE;
(3)解:存在.设P(0,d),则AP=|6﹣d|,AF==2
,
FD=﹣2﹣(﹣8)=6,CF==
,
当△AFP∽△FDC时,=
,即
=
,解得d=
或﹣
,
当△AFP∽△FCD时,=
,即
=
,解得d=﹣2或14,
∴P点坐标为(0,)或(0,﹣
)或(0,﹣2)或(0,14).
解析
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科目:初中数学 来源:2011年初中毕业升学考试(青海卷)数学 题型:解答题
(2011•常德)如图,已知四边形ABCD是平行四边形.
(1)求证:△MEF∽△MBA;
(2)若AF、BE分别是∠DAB,∠CBA的平分线,求证:DF=EC.
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