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9.如图,OA⊥OB,等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上,∠ECD=45°,将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,则$\frac{OC}{CD}$的值为(  )
A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$D.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

分析 根据旋转得出∠NCE=75°,求出∠NCO,设OC=a,则CN=2a,根据△CMN也是等腰直角三角形设CM=MN=x,由勾股定理得出x2+x2=(2a)2,求出x=$\sqrt{2}$a,得出CD=$\sqrt{2}$a,代入求出即可.

解答 解:∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°,点E的对应点N恰好落在OA上,
∴∠ECN=75°,
∵∠ECD=45°,
∴∠NCO=180°-75°-45°=60°,
∵AO⊥OB,
∴∠AOB=90°,
∴∠ONC=30°,
设OC=a,则CN=2a,
∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN,
∴△CMN也是等腰直角三角形,
设CM=MN=x,则由勾股定理得:x2+x2=(2a)2
x=$\sqrt{2}$a,
即CD=CM=$\sqrt{2}$a,
∴$\frac{OC}{CD}$=$\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
故选D.

点评 本题考查了等腰直角三角形性质,勾股定理,含30度角的直角三角形性质,旋转性质,三角形的内角和定理等知识点,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目比较好,但有一定的难度.

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