Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒 个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P与点B重合时停止运动．

（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求S△ACP的面积；
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，

∴ ，解得： ．

∴抛物线的表达式为y=﹣x2+3x+4．

（2）

解：令x=0，则y=4，

即点C的坐标为（0，4），

∴BC= =4 ．

设直线BC的解析式为y=kx+4，

∵点B的坐标为（4，0），

∴0=4k+4，解得k=﹣1，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+4．

当t=1时，CP= ，

点A（﹣1，0）到直线BC的距离h= = = ，

S△ACP= CPh= × × = ．

（3）

解：①∵直线BC的解析式为y=﹣x+4，

∴CP= t，OE=t，设P（t，﹣t+4），F（t，﹣t2+3t+4），（0≤t≤4）

PF=﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）=﹣t2+4t，（0≤t≤4）．

当t=﹣ =2时，PF取最大值，最大值为4．

②∵△PCF沿CF折叠得到△P′CF，

∴PC=P′C，PF=P′F，

当四边形PFP′C是菱形时，只需PC=PF．

∴ t=﹣t2+4t，

解得：t1=0（舍去），t2=4﹣ ．

故当t=4﹣ 时，四边形PFP′C是菱形．

【解析】（1）将A、B点的坐标代入函数解析式中，即可得到关于a、b的二元一次方程，解方程即可得出结论；（2）令x=0可得出C点的坐标，设出直线BC解析式y=kx+4，代入B点坐标可求出k值，利用面积法求出点A到直线BC的距离结合三角形的面积，即可得出结论；（3）①由直线BC的解析式为y=﹣x+4可得知OE= CP，设出P、F点的坐标，由F点的纵坐标﹣P点的纵坐标即可得出PF的长度关于t的函数表达式，结合二次函数的性质即可求出最值问题；②由翻转特性可知PC=P′C，PF=P′F，若四边形PFP′C是菱形，则有PC=PF，由此得出关于t的二元一次方程，解方程即可得出结论．