新定义:若x0=ax02+bx0+c成立.则称点(x0.x0)为抛物线y=ax2+bx+c 上的不动点．设抛物线C的解析式为:y=ax2+,如果把抛物线C向左平移12个单位后其顶点恰好在y轴上.求抛物线C的解析式及其上的不动点,(2)对于任意实数b.实数a应在什么范围内.才能使抛物线C上总有两个不同的不动点?(3)设a为整数.且满足a+b+1=0.若抛物线C与x轴两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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新定义：若x₀=ax₀²+bx₀+c成立，则称点（x₀，x₀）为抛物线y=ax²+bx+c （a≠0）上的不动点．设抛物线C的解析式为：y=ax²+（b+1）x+（b-1），（a≠0）
（1）抛物线C过点（0，-3）；如果把抛物线C向左平移

个单位后其顶点恰好在y轴上，求抛物线C的解析式及其上的不动点；
（2）对于任意实数b，实数a应在什么范围内，才能使抛物线C上总有两个不同的不动点？
（3）设a为整数，且满足a+b+1=0，若抛物线C与x轴两交点的横坐标分别为x₁，x₂，是否存在整数k，使得

=k-3成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据已知得出b-1=-3，-

b+1

，即可得出a，b的值，进而得出图象上的不动点；
（2）根据抛物线C有两个不同的动点，得出x=ax²+（b+1）x+（b-1），再利用抛物线C有两个不同点，得出△＞0，即b²-4a（b-1）＞0，
由b为任意实数，且使得上式成立；则必有（-4a）²-4×1×4a＜0，进而得出a的取值范围；
（3）首先根据x₁与x₂是抛物线C与x轴的交点横坐标，得出△=a²+4a（a+2）＞0，再利用根据与系数关系，求出a的取值即可．

解答：解：（1）由题意得出：

b+1

b-1=-3

，
解得：

a=1

b=-2

，
∴抛物线解析式为：y=x²-x-3，
令x=x²-x-3，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴不动点为：（-1，-1）和（3，3）；

（2）∵抛物线C有两个不同的动点，
∴x=ax²+（b+1）x+（b-1），
整理得：ax²+bx+（b-1）=0，
∵抛物线C有两个不同点，
∴△＞0，
即b²-4a（b-1）＞0，
b²-4ab+4a＞0，
∵b为任意实数，且使得上式成立；
∴必有（-4a）²-4×1×4a＜0，
整理得：a²-a＜0，
从而，得

a＞0

a-1＜0

或

a＜0

a-1＞0

，
解得：0＜a＜1，
∴实数a的取值范围应为：0＜a＜1；

（3）由a+b+1=0，得b=-a-1代入抛物线C，得y=ax²-ax-（a+2），
∵x₁与x₂是抛物线C与x轴的交点横坐标，
∴△=a²+4a（a+2）＞0，
解得：a＞0或a＜-

，
由根与系数的关系得：
x₁+x₂=1，x₁•x₂=-

a-2

，
∴k=3+

=3+

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

a+2

（a＞0或a＜-

，且a为整数）
要使k为整数，取a=-4，-3，-1，0，其中a=-1，0不合题意舍去；
∴存在

a=-4

k=-1

，

a=-3

k=-2

．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和不等式组的解法、根的判别式可计算出等知识，正确得出不等式解集是解题关键．

练习册系列答案

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