Question

【题目】已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，

（1）连接CD、BD，求证：△CDF≌△BDE；

（2）若AE＝5，AC＝3，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2.

【解析】

（1）连CD、BD，如图，根据角平行线的性质定理得到DE=DF，根据线段垂直平分线的性质得CD=BD，则可利用“HL“证明Rt△CDF≌Rt△BDE；

（2）先证明Rt△ADF≌Rt△ADE得到AE=AF，再由Rt△CDF≌Rt△BDE得出BE=CF，进而解答即可．

证明：（1）如图，连接CD、BD，

∵AD平分∠BAE，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

又∵DG垂直平分BC，

∴CD＝BD，

在Rt△CDF和Rt△BDE中

∵，

∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），

（2）在Rt△ADF和Rt△ADE中

∵，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），

∴AE＝AF，

∵Rt△CDF≌Rt△BDE，

∴BE＝CF，

∵CF＝AF﹣AC＝5﹣3＝2，

∴BE＝2．