Question

10．如图，点A的坐标为（-1，0），直线y=x-3与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B在直线y=x-3上运动．

（1）若点B的坐标为（2，-1），把直线AB向上（y轴正方向）平移m个单位后经过点C，求m的值；
（2）当S_△ABC=3时，求点B的坐标；
（3）当线段AB最短时，请直接写出点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）由y=x-3，得到C（3，0），求出直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，把直线AB向上（y轴正方向）平移m个单位后经过点C，得到y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$+m，把A点的坐标代入求出m=$\frac{4}{3}$；
（2）根据三角形的面积公式列方程求解；
（3）当线段AB最短时，AB⊥BC，求出直线AB的解析式为：y=-x-1，联立方程组求出点的坐标．

解答 解：（1）在y=x-3中，当y=0，x=3，
∴C（3，0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{-1=2k+b}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{3}}\\{b=-\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为：y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$，
把直线AB向上（y轴正方向）平移m个单位后经过点C，
∴y=-$\frac{1}{3}$x-$\frac{1}{3}$+m，
∴m=$\frac{4}{3}$；

（2）设B点的坐标为：（a，b），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•|b|=3，
∴b=±$\frac{3}{2}$，∵点B在直线y=x-3上，
∴a=$\frac{9}{2}$或$\frac{3}{2}$，
∴B（$\frac{9}{2}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；

（3）当线段AB最短时，AB⊥BC，
∴设直线AB的解析式为：y=-x+b，
∴0=1+b，∴b=-1，
∴直线AB的解析式为 y=-x-1
解 $\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（1，-2）．

点评 本题考查了由一次函数的解析式求点的坐标，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积公式，线段公理，解方程组求直线的交点坐标，关键是找出线段AB最短时，是AB垂直于CD．