Question

1．如图，已知直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x+4，交x轴、y轴分别于B、A两点；l₂⊥l₁于点A，交x轴于点C，直线l₃：x=8交x轴于D，P是l₃上的动点．
（1）求：A、B、C三点的坐标；
（2）若△PCD和△AOC相似，求P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x+4，分别令x=0，y=0，求出相应的值，即可得到A、B两点的坐标，再根据互相垂直的两条直线的关系，利用待定系数法可求直线l₂的解析式，令y=0，求出相应的值，即可得到C点的坐标；
（2）分两种情况：①△PDC和△AOC相似；②△CDP和△AOC相似；根据相似三角形的性质求得PD的长，进一步得到P点的坐标．

解答 解：（1）直线l₁：y=$\frac{1}{2}$x+4，
令x=0，y=4，则A点的坐标为（0，4），
y=0，$\frac{1}{2}$x+4=0，解得x=-8，则B点的坐标为（-8，0），
∵l₂⊥l₁，
∴设直线l₂的解析式为y=-2x+b，则b=4，
故直线l₂的解析式为y=-2x+4；
令y=0，-2x+4=0，解得x=2，则C点的坐标为（2，0）；
（2）①△PDC和△AOC相似，
$\frac{PD}{AO}$=$\frac{CD}{CO}$，即$\frac{PD}{4}$=$\frac{8-2}{2}$，解得PD=12．
故P点的坐标为（8，12）或（8，-12）；
②△CDP和△AOC相似，
$\frac{CD}{AO}$=$\frac{PD}{CO}$，即$\frac{8-2}{4}$=$\frac{PD}{2}$，解得PD=3．
故P点的坐标为（8，3）或（8，-3）；
综上所述，P点的坐标为（8，12）或（8，-12）或（8，3）或（8，-3）．

点评 考查了一次函数综合题，涉及坐标轴上点的坐标特征，互相垂直的两条直线的关系，待定系数法求直线解析式，相似三角形的性质，分类思想的应用，综合性较强，有一定的难度．