【题目】正方形ABCD的边长是10,点E是AB的中点,动点F在边BC上,且不与点B、C重合,将△EBF沿EF折叠,得到△EB′F.
(1)如图1,连接AB′.
①若△AEB′为等边三角形,则∠BEF等于多少度.
②在运动过程中,线段AB′与EF有何位置关系?请证明你的结论.
(2)如图2,连接CB′,求△CB′F周长的最小值.
(3)如图3,连接并延长BB′,交AC于点P,当BB′=6时,求PB′的长度.
【答案】(1)①∠BEF=60°;②A B'∥EF,证明见解析;(2)△CB′F周长的最小值5+5;(3)PB′=.
【解析】
(1)①当△AEB′为等边三角形时,∠AE B′=60°,由折叠可得,∠BEF= ∠BE B′= ×120°=60°;②依据AE=B′E,可得∠EA B′=∠E B′A,再根据∠BEF=∠B′EF,即可得到∠BEF=∠BA B′,进而得出EF∥A B′;
(2)由折叠可得,CF+ B′F=CF+BF=BC=10,依据B′E+ B′C≥CE,可得B′C≥CE﹣B′E=5﹣5,进而得到B′C最小值为5﹣5,故△CB′F周长的最小值=10+5﹣5=5+5;
(3)将△ABB′和△APB′分别沿AB、AC翻折到△ABM和△APN处,延长MB、NP相交于点Q,由∠MAN=2∠BAC=90°,∠M=∠N=90°,AM=AN,可得四边形AMQN为正方形,设PB′=PN=x,则BP=6+x,BQ=8﹣6=2,QP=8﹣x.依据∠BQP=90°,可得方程22+(8﹣x)2=(6+x)2,即可得出PB′的长度.
(1)①当△AE B′为等边三角形时,∠AE B′=60°,
由折叠可得,∠BEF=∠BE B′=×120°=60°,
故答案为:60;
②A B′∥EF,
证明:∵点E是AB的中点,
∴AE=BE,
由折叠可得BE=B′E,
∴AE=B′E,
∴∠EA B′=∠E B′A,
又∵∠BEF=∠B′EF,
∴∠BEF=∠BA B′,
∴EF∥A B′;
(2)如图,点B′的轨迹为半圆,由折叠可得,BF=B′F,
∴CF+ B′F=CF+BF=BC=10,
∵B′E+ B′C≥CE,
∴B′C≥CE﹣B′E=5﹣5,
∴B′C最小值为5﹣5,
∴△CB′F周长的最小值=10+5﹣5=5+5;
(3)如图,连接A B′,易得∠A B′B=90°,
将△AB B′和△AP B′分别沿AB、AC翻折到△ABM和△APN处,延长MB、NP相交于点Q,
由∠MAN=2∠BAC=90°,∠M=∠N=90°,AM=AN,可得四边形AMQN为正方形,
由AB=10,B B′=6,可得A B′=8,
∴QM=QN=A B′=8,
设P B′=PN=x,则BP=6+x,BQ=8﹣6=2,QP=8﹣x.
∵∠BQP=90°,
∴22+(8﹣x)2=(6+x)2,
解得:x=,
∴P B′=x=.
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【题目】某船自西向东航行,在处测得某岛在北偏东的方向上,前进海里后到达,此时,测得海岛在北偏东的方向上,要使船与海岛最近,则船应继续向东前进________海里.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,对角线 AC⊥BD,垂足为O,点E、F、G、H分别为边AD、AB、BC、CD的中点.若AC=10,BD=6,则四边形EFGH的面积为( )
A. 20B. 15C. 30D. 60
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【题目】(本题满分8分)如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°. 已知原传送带AB长为4米.
(1)求新传送带AC的长度;
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.(说明:⑴⑵的计算结果精确到0.1米,参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.24,≈2.45)
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【题目】某校想了解学生每周的课外阅读时间情况,随机调查了部分学生,对学生每周的课外阅读时间x(单位:小时)进行分组整理,并绘制了如图所示的不完整的频数分别直方图和扇形统计图:
根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布直方图
(2)求扇形统计图中m的值和E组对应的圆心角度数
(3)请估计该校3000名学生中每周的课外阅读时间不小于6小时的人数
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(10,0),(0,4),点D是OA的中点,点P在BC上运动,当△ODP是腰长为5的等腰三角形时,点P的坐标为______.
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【题目】如图,已知已知抛物线经过原点O和x轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与x轴交于点D,直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B(﹣2,m)且与y轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F.
(1)求m的值及该抛物线的解析式
(2)P(x,y)是抛物线上的一点,若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标.
(3)点Q是平面内任意一点,点M从点F出发,沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设点M的运动时间为t秒,是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形?若能,请直接写出点M的运动时间t的值;若不能,请说明理由.
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【题目】如图1,D是⊙O的直径BC上的一点,过D作DE⊥BC交⊙O于E、N,F是⊙O上的一点,过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P,连结CF交PD于M,∠C=∠P.
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)若∠A=30°,⊙O的半径为4,DM=1,求PM的长;
(3)如图2,在(2)的条件下,连结BF、BM;在线段DN上有一点H,并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似,求DH的长度.
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