Question

14．如图，△ABC和△AMN均为等边三角形，边长分别为$\sqrt{3}$，1．连接BM，CM，若BM⊥AC．
（1）求MC；
（2）求证：AM⊥AB；
（3）求证：△ABM≌△ACN．

Answer 1

分析 （1）由等边三角形的性质得出BM是AC的垂直平分线，即可得出MC=AM=1；
（2）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理证出∠MAC=30°，得出∠BAM=90°即可；
（3）由等边三角形的性质得出AB=AC，AM=AN，再证出∠BAM=∠CAN，由SAS即可证明△ABM≌△ACN．

解答 （1）证明：∵△ABC时等边三角形，BM⊥AC，
∴AB=CB，∠BAC=60°，BM平分AC，
即BM是AC的垂直平分线，
∴MC=AM=1；
（2）证明：∵△AMN是等边三角形，
∴AM=AN，∠AMN=∠MAN=60°，
∴∠AMC=120°，
∵MC=AM，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠BAM=60°+30°=90°，
∴AM⊥AB；
（3）证明：∵∠CAN=∠MAN+∠MAC=90°，
∴∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}&{\;}\\{∠BAM=∠CAN}&{\;}\\{AM=AN}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN（SAS）．

点评 本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．