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16.如图,已知等腰直角三角形ABC,点P是斜边BC上一点(不与B,C重合),PE是△ABP的外接圆⊙O的直径.
(1)求证:△APE是等腰直角三角形;
(2)若⊙O的直径为2,求PC2+PB2的值.

分析 (1)只要证明∠AEP=∠ABP=45°,∠PAB=90°即可解决问题;
(2)作PM⊥AC于M,PN⊥AB于N,则四边形PMAN是矩形,可得PM=AN,由△PCM,△PNB都是等腰直角三角形,推出PC=$\sqrt{2}$PM,PB=$\sqrt{2}$PN,可得PC2+PB2=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4;

解答 (1)证明:∵AB=AC,∠BAC=90°,
∴∠C=∠ABC=45°,
∴∠AEP=∠ABP=45°,
∵PE是直径,
∴∠PAB=90°,
∴∠APE=∠AEP=45°,
∴AP=AE,
∴△PAE是等腰直角三角形.

(2)作PM⊥AC于M,PN⊥AB于N,则四边形PMAN是矩形,
∴PM=AN,
∵△PCM,△PNB都是等腰直角三角形,
∴PC=$\sqrt{2}$PM,PB=$\sqrt{2}$PN,
∴PC2+PB2=2(PM2+PN2)=2(AN2+PN2)=2PA2=PE2=22=4.
(也可以证明△ACP≌△ABE,△PBE是直角三角形)

点评 本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造特殊四边形解决问题,属于中考常考题型.

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