Question

【题目】如图，在中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连接EG、GF、FH、HE。

（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（2）如图②，当时，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；

（3）如图③，在（2）的条件下，当，时，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）四边形EGFH是平行四边形，证明见详解;（2）四边形EGFH是菱形，证明见详解;（3）四边形EGFH是平行四边形，证明见详解.

【解析】

（1）由于平行四边形对角线的交点是它的对称中心，即可得出OE=OF、OG=OH；根据对

角线互相平分的四边形是平行四边形即可判断出EGFH的性质；

（2）当EF⊥GH时，平行四边形EGFH的对角线互相垂直平分，故四边形EGFH是菱形；

（3）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形，则对角线相等且互相垂直平分；

可通过证△BOG≌△COF，得OG=OF，从而证得菱形的对角线相等，根据对角线相等的菱

形是正方形即可判断出EGFH的形状．

（1）四边形EGFH是平行四边形；

证明：∵ABCD的对角线AC、BD交于点O，

∴点O是ABCD的对称中心；

∴EO=FO，GO=HO；

∴四边形EGFH是平行四边形；

（2）∵四边形EGFH是平行四边形，EF⊥GH，

∴四边形EGFH是菱形；

（3）∵AC=BD，

∴ABCD是矩形；

又∵AC⊥BD，

∴ABCD是正方形，

∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；

∵EF⊥GH，

∴∠GOF=90°；

∠BOG+∠BOF=∠COF+∠BOF=90

∴∠BOG=∠COF；

∴△BOG≌△COF(ASA)；

∴OG=OF，同理可得：EO=OH，

∴GH=EF；

由(3)知四边形EGFH是菱形，

又EF=GH，

∴四边形EGFH是正方形.