Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点D为函数y=

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x

（x＞0）上 的一点，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠B=90°，A（0，3），C（4，0），点P从A出发，以3个单位/秒的速度沿直线AD向右运动，点Q从点C同时出发，以1个单位/秒的速度沿直线CB向左运动．
（1）求点D的坐标；
（2）从运动开始，经过多少时间以P、Q、C、D为顶点的四边形为平行四边形？
（3）若点M在y轴上，当t=

2

3

秒且△PCM为等腰三角形时，求直线CM的解析式．

Answer 1

分析：（1）解析式和纵坐标都知道，从而可求解．
（2）因为有PD∥QC，只要求出PD=QC即可．
（3）为等腰三角形有三种情况，PC=MC，MC=PM，PM=PC，从而可求出解．

解答：解：（1）∵点D的纵坐标为3，∴3=

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x

，∴x=6，∴D（6，3）（2分）

（2）设运动时间为t秒，则AP=3t，PD=|6-3t|，CQ=t．
∵PD∥CQ，故当PD=CQ时，可得平行四边形，∴|6-3t|=t，
则6-3t=t，或6-3t=-t．∴t=1.5秒或3秒．（4分）

（3）当t=

2

3

S时，AP=

2

3

×3=2，P为（2，3）．
设M（0，y），则MC²=OM²+OC²=4²+y²，PM²=PA²+AM²=2²+（3-y）²
PC²=PE²+CE²=3²+2²
∵△PMC为等腰三角形
①若PC=MC，则3²+2²=4²+y²，方程无解；        （5分）
②若MC=PM，则4²+y²=2²+（3-y）²，y=-

1

2

；          （6分）
③若PM=PC，则2²+（3-y）²=3²+2²，y=6或0；       （7分）
∴M₁（0，-

1

2

），M₂（0，0），M₃（0，6）．
当M₁为（0，-

1

2

） 时，设直线MC解析式为y=kx-

1

2

．
将C（4，0）代入求得k=

1

8

，则直线MC为：y=

1

8

x-

1

2

；       （8分）
当M₂为（0，0）时，C（4，0），M（0，0）均在x轴上，
故直线MC为：y=0（或x轴），（9分）
当M₃为（0，6）时，直线MC为：y=-

3

2

x+6，但P（2，3）代入成立，
即P、M、C三点共线，△PCM不存在，故舍去．            （10分）
综上知：直线MC为：y=

1

8

x-

1

2

，或y=0    （11分）

点评：本题考查的是反比例函数的综合题，以及平行四边形的判定定理，等腰三角形的判定定理．