Question

18．如图，抛物线y=ax²-（2a+1）x+b的图象经过（2，-1）和（-2，7）且与直线y=kx-2k-3相交于点P（m，2m-7）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线y=kx-2k-3与抛物线y=ax²-（2a+1）x+b的对称轴的交点Q的坐标；
（3）在y轴上是否存在点T，使△PQT的一边中线等于该边的一半？若存在，求出点T的坐标；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线y=ax²-（2a+1）x+b的图象经过（2，-1）和（-2，7），求得a，b的值即可得到抛物线的解析式；
（2）先根据抛物线的图象经过点P（m，2m-7），求得点P的坐标，再根据直线y=kx-2k-3经过点P，求得k的值，最后根据抛物线的对称轴为直线x=2，求得点Q的坐标；
（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，分三种情况讨论：∠PTQ=90°时，∠PQT=90°时，∠QPT=90°时，分别根据勾股定理列出关于t的方程进行求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²-（2a+1）x+b的图象经过（2，-1）和（-2，7），
∴$\left\{\begin{array}{l}{4a-4a-2+b=-1}\\{4a+4a+2+b=7}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1；

（2）∵抛物线的图象经过点P（m，2m-7），
∴2m-7=$\frac{1}{2}$m²-2m+1，
解得m₁=m₂=4，
∴点P的坐标为（4，1），
∵直线y=kx-2k-3经过点P，
∴4k-2k-3=1，
解得k=2，
∴直线的解析式为y=2x-7，
∵y=$\frac{1}{2}$x²-2x+1=$\frac{1}{2}$（x-2）²-1，
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
∴在y=2x-7中，当x=2时，y=2×2-7=-3，
∴点Q的坐标为（2，-3）；

（3）设点T的坐标为（0，t），M为PQ的中点，连结TM，根据题意得：
TM=$\frac{1}{2}$PQ，即TM=PM=QM，
∴点T在以PQ为直径的圆上，
∴∠PTQ=90°，
∴△PQT为直角三角形，
同理，点M为PT或QT的中点时，△PQT仍为直角三角形，
作PA⊥y轴于A，交直线x=2于点C，QB⊥y轴于B，则AT=|1-t|，BT=|-3-t|，
∵PA=4，QB=2，PC=2，CQ=4，
∴PQ=$\sqrt{P{C}^{2}+C{Q}^{2}}$=$\sqrt{20}$=2$\sqrt{5}$，
①当∠PTQ=90°时，
∵PQ²=TQ²+TP²=BT²+QB²+PA²+AT²
=|-3-t|²+2²+|1-t|²+4²=20，
∴2t²+4t+10=0，即（t+1）²=-4，
∵（t+1）²≥0，
∴此方程无解；
②当∠PQT=90°时，PQ²+QT²=PT²，
∴（2$\sqrt{5}$）²+2²+|-3-t|²=4²+|1-t|²，
解得t=-2；
③当∠QPT=90°时，TQ²=PT²+PQ²，
∴QB²+BT²=PA²+AT²+（2$\sqrt{5}$）²，
∴4+|-3-t|²=16+|1-t|²+20，
解得t=3，
综上所述，在y轴上存在点T，其坐标分别为（0，3）和（0，-2），使△PQT的一边中线等于该边的一半．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求函数解析式、直角三角形的性质、二次函数与坐标轴的交点等知识，分类讨论是解题的关键．