Question

8．若a＞0，M=$\frac{a}{a+1}$，N=$\frac{a+1}{a+2}$
（1）当a=1时，M=$\frac{1}{2}$，N=$\frac{2}{3}$；当a=3时，M=$\frac{3}{4}$，N=$\frac{4}{5}$；
（2）猜想M与N的大小关系，并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）直接代入计算即可；
（2）利用求差法比较M与N的大小关系，根据分式的加减法运算法则进行计算，最后判断其正负．

解答 解：（1）当a=1时，M=$\frac{a}{a+1}$=$\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，N=$\frac{a+1}{a+2}$=$\frac{1+1}{1+2}$=$\frac{2}{3}$，
当a=3时，M=$\frac{a}{a+1}$=$\frac{3}{3+1}$=$\frac{3}{4}$，N=$\frac{a+1}{a+2}$=$\frac{3+1}{3+2}$=$\frac{4}{5}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{5}$；
（2）M＜N，理由是：
M-N=$\frac{a}{a+1}$-$\frac{a+1}{a+2}$，
=$\frac{a（a+2）-（a+1）^{2}}{（a+1）（a+2）}$，
=-$\frac{1}{（a+1）（a+2）}$，
∵a＞0，
∴（a+1）（a+2）＞0，
∴-$\frac{1}{（a+1）（a+2）}$＜0，
即M-N＜0，
∴M＜N．

点评 本题考查了分式的加减法和分式大小比较，分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘；对于大小比较问题，方法为：①求商法，②求差法，③平方法等．