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如图所示,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,依此类推
(1)填写下表:
层次 1 2 3 4 5 6
该层对应的点数            
所有层的总点数            
(2)写出第n层所对应的点数;
(3)写出六边形的点阵共有n层时的总点数;
(4)如果六边形的点阵共有n层时的总点数为397,你知道共有多少层吗?
分析:根据六边形有六条边,则第一层有1个点,第二层有2×6-6=6(个)点,第三层有3×6-6=12(个)点,推而广之即可求解.然后根据得到的通项公式求出相应题目的解即可.
解答:解:第一层上的点数为1;
第二层上的点数为6=1×6;
第三层上的点数为6+6=2×6;
第四层上的点数为6+6+6=3×6;

第n层上的点数为(n-1)×6.
所以n层六边形点阵的总点数为
1+1×6+2×6+3×6+…+(n-1)×6
=1+6[1+2+3+4+…+(n-1)]=1+6[(1+2+3+…+n-1)+(n-1+n-2+…+3+2+1)]÷2
=1+6×
n(n-1)
2

=1+3n(n-1)
(1)填表如下:
层次 1 2 3 4 5 6
该层对应的点数 1 6 12 18 24 30
所有层的总点数 1 7 19 37 61 91
(2)根据分析可得第n层的点数之和为6(n-1);
(3)根据分析可得共有n层时的点数之和为1+3n(n-1);
(4)根据题意得:
1+3n(n-1)=397.
n(n-1)=132;
(n-12)(n+11)=0
n=12或-11.
故n=12,
答:共有12层.
点评:本题考查了图形的变化类问题,主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力.对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化,是按照什么规律变化的.通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,有一个形如四边形的点阵,第1层每边有两个点,第2层每边有三个点,第3层每边有四个点,依此类推.
(1)填写下表:
层  数 1 2 3 4 5 6
各层对应的点数
4
4
8
8
12
12
16
16
20
20
4n
4n
          
所有层的总点数
4
4
12
12
24
24
40
40
60
60
2n(n+1)
2n(n+1)
(2)写出第n层对应的点数;
(3)写出n层的四边形点阵的总点数;
(4)如果某一层共有79个点,你知道它是第几层吗?
(5)有没有n层的四边形点阵的总点数是180?如果有求出n,若没有说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图所示,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,依此类推
(1)填写下表:
层次123456
该层对应的点数
所有层的总点数
(2)写出第n层所对应的点数;
(3)写出六边形的点阵共有n层时的总点数;
(4)如果六边形的点阵共有n层时的总点数为397,你知道共有多少层吗?

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

作业宝如图所示,有一个形如四边形的点阵,第1层每边有两个点,第2层每边有三个点,第3层每边有四个点,依此类推.
(1)填写下表:

层  数123456
各层对应的点数____________________________________          
所有层的总点数____________________________________

(2)写出第n层对应的点数;
(3)写出n层的四边形点阵的总点数;
(4)如果某一层共有79个点,你知道它是第几层吗?
(5)有没有n层的四边形点阵的总点数是180?如果有求出n,若没有说明理由.

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科目:初中数学 来源:湖北省中考真题 题型:填空题

如图所示,有一个形如六边形的点阵,它的中心是一个点,作为第一层,第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,依次类推,如果n层六边形点阵的总点数为331,则n等于(    )。

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