Question

如图，已知⊙O₂交⊙O₁于A、B两点，且过⊙O₁的圆心O₁，AC是⊙O₁的弦，直线CB交⊙O₂于点D（异于A、B）．则DO₁

垂直

AC．

Answer 1

分析：连接AD，AO₁，CO₁，BO₁；
由于AO₁=BO₁，则在⊙O₂中：弧AO₁=弧BO₁，由圆周角定理知∠ADO₁=∠BDO₁；
在⊙O₁中，CO₁=BO₁，由等边对等角知，∠O₁CB=∠O₁BC；
由于A，B，D，O₁四点共圆，根据圆内接四边形的性质知，∠O₁BC=∠O₁AD=∠O₁CB；
由AAS可证得△CDO₁≌△ADO₁，则AD=CD，DO₁为等腰△ACD的顶角平分线；
由等腰三角形的性质：顶角的平分线与底边上的高重合知，DO₁⊥AC．

解答：证明：连接AD，AO₁，CO₁，BO₁；
∵AO₁=BO₁，
∴弧AO₁=弧BO₁，∠ADO₁=∠BDO₁；
在⊙O₁中，CO₁=BO₁，
∴∠O₁CB=∠O₁BC；
∵A，B，D，O₁四点共圆，
∴∠O₁BC=∠O₁AD=∠O₁CB；
∵O₁D=O₁D，∠O₁AD=∠O₁CB，∠ADO₁=∠BDO₁，
∴△CDO₁≌△ADO₁；
∴AD=CD，∠ADO₁=∠CDO₁；
∴DO₁⊥AC．

点评：本题主要考查了圆周角定理、园内接四边形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，综合性较强，难度较大．