Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，A（0，3）、B（3，0）、C（﹣3，0）．

（1）过B作直线MN⊥AB，P为线段OC上的一动点，AP⊥PH交直线M于点H，证明：PA＝PH．

（2）在（1）的条件下，若在点A处有一个等腰Rt△APQ绕点A旋转，且AP＝PQ，∠APQ＝90°，连接BQ，点G为BQ的中点，试猜想线段OG与线段PG的数量关系与位置关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OG＝PG，OG⊥PG，见解析.

【解析】

（1）利用A（0，2）、B（2，0）、C（﹣2，0），得到△ABC，△OAC，△OAB都是等腰直角三角形，如图1，过点P作PG∥AB交y轴与G，则∠4＝∠6＝45°，再证明△APG≌△PHB，得到PA＝PH．

（2）OG＝PG，OG⊥PG，理由：如图2，延长PG到R，使GR＝PG，连接PO，OR，BR，证明△PQG≌△BRG，得到PQ＝BR，∠5＝∠GBR，进而AP⊥PQ，再延长AP交BR于S，交OB于T，则AP⊥BR，证明△PAO≌△RBO，得到PO＝OR，∠1＝∠2，所以△POR为等腰直角三角形，根据PG＝GR，所以OG⊥PG，OG＝PG．

（1）∵A（0，3）、B（3，0）、C（﹣3，0）．

∴OA＝OB＝OC，

∴△ABC，△OAC，△OAB都是等腰直角三角形，

∴∠6＝∠7＝45°，

如图1，过点P作PG∥AB交y轴与G，则∠4＝∠6＝45°，

∴OP＝OG，

∴AO+OG＝OB+OP，

即AG＝PB，

∵AP⊥PH，

∴∠2+∠5＝90°，

∵∠1+∠5＝90°，

∴∠1＝∠2，

∵MN⊥AB，

∴∠3+∠7＝90°，

∴∠3＝45°，

∴∠3＝∠4，

在△APG和△PHB中，

，
∴△APG≌△PHB（ASA），
∴PA=PH．
（2）结论：OG=PG，OG⊥PG，

理由：如图2，延长PG到R，使GR=PG，连接PO，OR，BR，
在△PQG和△BRG中，
，
∴△PQG≌△BRG（SAS），
∴PQ=BR，∠5=∠GBR，
∴PQ∥BR，
∵AP⊥PQ，
延长AP交BR于S，交OB于T，则AP⊥BR，
∵∠AOB=∠ASB=90°，∠ATR=∠BTS，
∴∠α=∠β，
∵PA=PQ，PQ=BR，
∴PA=BR，
在△PAO和△RBO中，
，
∴△PAO≌△RBO（SAS），
∴PO=OR，∠1=∠2，
∵∠1+∠POB=90°，
∴∠POB+∠2=90°，
∴△POR为等腰直角三角形，
∵PG=GR，
∴OG⊥PG，OG=PG．