Question

如图，在直角梯形OBCD中，OB=8，BC=1，CD=10．
（1）求C，D两点的坐标；
（2）若线段OB上存在点P，使PD⊥PC，求过D，P，C三点的抛物线的表达式．

Answer 1

分析：（1）过点C作CE⊥OD于点E，则四边形OBCE为矩形．利用矩形的性质可求得：C，D两点的坐标分别为C（8，1），D（0，7）．（2）根据PC⊥PD，可知∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∠2=∠3．则Rt△POD∽Rt△CBP，可求PO：1=7：（8-PO）．求得PO=1，或PO=7．则点P的坐标为（1，0），或（7，0）．设经过D，P，C三点的抛物线表达式为y=ax²+bx+c，分别利用待定系数法可求得①当点P的坐标为（1，0）时，所求抛物的表达式为：y=

25

28

x²-

221

28

x+7．
②当点P为（7，0）时，所求抛物线的表达式为：y=

1

4

x²-

11

4

x+7．

解答：解：（1）过点C作CE⊥OD于点E，则四边形OBCE为矩形．
∴CE=OB=8，OE=BC=1．
∴DE=

CD2-CE2

=

102-82

=6．
∴OD=DE+OE=7．
∴C，D两点的坐标分别为C（8，1），D（0，7）．（4分）

（2）∵PC⊥PD，
∴∠1+∠2=90度．
又∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3．
∴Rt△POD∽Rt△CBP．
∴PO：CB=OD：BP．
即PO：1=7：（8-PO）．
∴PO²-8PO+7=0．
∴PO=1，或PO=7．
∴点P的坐标为（1，0），或（7，0）．（6分）
①当点P的坐标为（1，0）时，
设经过D，P，C三点的抛物线表达式为y=ax²+bx+c，
则

c=7 a+b+c=0 64a+8b+c=1

，
∴

a= 25 28 b=- 221 28 c=7

，
∴所求抛物线的表达式为：y=

25

28

x²-

221

28

x+7．（9分）
②当点P为（7，0）时，设经过D，P，C三点的抛物线表达式为y=a′x²+b′x+c′，
则

c′=7 49a′+8b′+c′=1 64a′+8b′+c′=1

，
∴

a′= 1 4 b′=- 11 4 c′=7

∴所求抛物线的表达式为：y=

1

4

x²-

11

4

x+7．（10分）
（说明：求出一条抛物线表达式给（3分），求出两条抛物线表达式给4分）

点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和三角形全等的判定以及全等的性质等．要熟练掌握才能灵活运用．