Question

若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为：S₃、S₄、S₆，则S₃、S₄、S₆由大到小的排列顺序是________．

Answer 1

S₆＞S₄＞S₃
分析：先根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据三角形、正方形、正六边形的周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可．
解答：解：设正六边形的边长为a，如图所示，
则△ABC的边长为2a，正方形ABCD的边长为，
如图（1），过A作AD⊥BC，D为垂足；
∵△ABC是等边三角形，BC=2a，
∴BD=a，由勾股定理得，AD===a，
∴S₃=S_△ABC=BC•AD=×2a×a=a²．≈1.73a²．
如图（2），∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=，
∴S₄=S_□ABCD=AB2=×=a²．≈2.25a²．
如图（3），过O作OG⊥BC，G为垂足，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC==60°，
∴∠BOG=30°，OG===．
∴S_△BOC=××a=a²，
∴S₆=6S_△BOC=6×a²=a²≈2.598a²．
∵2.598a²＞2.25a²＞1.73a²．
∴S₆＞S₄＞S₃．
点评：此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据正三角形、正方形、正六边形的周长都相等设出其边长，求出其边长之间的关系，最后再分别求出其面积进行比较即可．