Question

如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．
（1）直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
（3）若要搭建一个矩形“支撑架”AD+DC+CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，这个“支撑架”总长的最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）看图可得出M，P的坐标．
（2）已知M，P的坐标，易求出这条抛物线的函数解析式．
（3）设A（m，0），则B（12-m，0），C（12-m，-

1

12

m2+m+3），D（m，-

1

12

m2+m+3）可得支撑架总长．

解答：解：（1）由题意得：
M（12，0），P（6，6）；

（2）由顶点P（6，6）设此函数解析式为：y=a（x-6）²+6，
将点（0，3）代入得a=-

1

12

，
∴y=-

1

12

（x-6）²+6
=-

1

12

x²+x+3；

（3）设A（m，0），则
B（12-m，0），C（12-m，-

1

12

m²+m+3），D（m，-

1

12

m²+m+3）
∴“支撑架”总长AD+DC+CB=（-

1

12

m²+m+3）+（12-2m）+（-

1

12

m²+m+3）=-

1

6

m2+18
∵此二次函数的图象开口向下．
∴当m=0时，AD+DC+CB有最大值为18．

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．